基于Ridgelet變換的多尺度去噪算法研究*

王 梅,侯振杰,呂國玲,張建華

（內蒙古農業大學 計算機與信息工程學院,內蒙古 呼和浩特 010020）

Standford大學的CANDES E J于1998年研究了一種新的多尺度變換——Ridgelet變換[1-2]。Ridgelet變換的前身是小波變換，小波變換是處理非平穩信號的有力工具,與傅里葉變換相比前進了一大步，因此在信號處理中得到廣泛應用。因此在二維圖像中，圖像的大多信息包含在邊緣中，小波變換只能反映“過”邊緣的特性，而無法表達“沿”邊緣的特性。在小波變換基礎上提出的多尺度Ridgelet變換不僅能有效處理高維情況下的線狀奇異性，而且它以穩定和固定的方式用一系列脊波函數的疊加來表示一個具有多變量的函數類。在這些新的函數類上，利用各種特殊的高維空間的不均勻性來模擬顯示信號。因此用Ridgelet變換來檢測直線特征，不僅可以有效地捕獲各個尺度、各個位置和各個方向上的信息,而且可以更稀疏地表示圖像的多方向特征。

1 Ridgelet變換的基本理論

1.1 Ridgelet變換的定義

考慮多變量函數 f∈L1∩L2(Rn)。

若函數 Ψ:R→R屬于 Schwartz空間 S(R),且滿足容許性條件：

則稱Ψ是容許神經激勵函數，相當于小波函數。稱式(2)為脊波函數。

其中，γ 為三元組(a,u,b),γ∈Γ,參數空間 Γ={(a,u,b):a,b∈R,a＞0,u∈s∈sn-i},sn-1為空間 Rn中的單位球,分別稱a為尺度參數，b為位置參數，u為方向參數。

定義連續脊波變換為：

1.2 有限 Ridgelet變換（FRIT）

DO M N和VETTERLI M提出一種脊波變換的數字實現方法[3-4]——有限脊波變換FRIT(Finite Ridgelet Transform)。根據小波和Radon變換的關系，可以由有限Radon(FRAT)和小波來構建FRIT。FRIT是在FRAT(Finite Radon Transform)的基礎上經一維小波變換得到的，FRIT是有限區域大小的二維實數離散信號實現脊波變換的離散手段，構建過程如下：

FRIT使脊波變換可以方便地在計算機上實現，而由于現在建立的FRIT是冗余的，DO M N和VETTERLI M提出了正交有限脊波變換來解決結果的冗余[4]，Xia Junjun等提出了二進離散脊波變換[6]。

2 基于Ridgelet變換的圖像去噪算法

Ridgelet變換可以更好地表征圖像中的直線，對于分段光滑且沿直線邊緣奇異性的圖像來說，Ridgelet變換去噪既可以有效去除噪聲,又較好地保留了特征。

假設噪聲圖像的模型為高斯加性噪聲模型：

其中，x為原圖像，n為高斯白噪聲，y為含噪聲圖像。

以處理含有高斯白噪聲的圖像為例，在原始圖像中加入標準差為σ的高斯白噪聲，這里采用軟閾值實現去噪，詳細算法描述如下。

首先，對 n×n原圖像進行預處理，得到k×k的圖像(k是大于n的最小素數)，對處理后的圖像加噪聲，加入均值為零、標準差為σ的高斯白噪聲。一些常見的噪聲有椒鹽（Salt&Pepper）噪聲、高斯噪聲、脈沖噪聲等。椒鹽噪聲含有隨機出現的黑白強度值，而脈沖噪聲則只含有隨機的白強度值（正脈沖噪聲）或黑強度值（負脈沖噪聲）。與前兩者不同，高斯噪聲含有強度服從高斯或正態分布的噪聲，而且在實際應用中,高斯噪聲標準差只能通過中值估計方法近似估計：

其中,wij為Contourlet變換域預處理的系數，0.674 5為經驗值。

其次，對含噪圖像進行有限脊波變換（FRIT）。去噪的方法很多，由于閾值去噪[7]方法簡單有效，因此應用十分廣泛。在閾值去噪中，閾值的選取對去噪效果有著重要的影響。對于加性高斯噪聲中的信號估計問題，DONOHO提出了軟閾值去噪方法[8],用默認閾值對FRIT變換系數進行軟閾值操作。軟閾值方法處理的結果相對平滑，去噪效果非常明顯，但是會出現“過扼殺”的現象，往往會造成圖像邊緣模糊、圖像邊緣細節等信息丟失的現象。通常，軟閾值(soft)函數的公式為：

即軟閾值把(i,j)處的脊波系數絕對值與指定閾值λk(i,j)相比較，小于閾值的點變為0，大于或等于閾值的點變為該點絕對值與閾值的差。在實驗中采用“db4”小波，分解層數均為5層。

然后,對處理后的閾值系數進行逆FRIT變換得到去噪后的圖像。

在不同尺度下，隨著尺度因子的變化，圖像的特征點的數量會發生變化，這里提及的“同一特征點”指的是同一目標源圖像在不同尺度層下，經過濾波模糊化處理均能保留下來的那些特征點，從而在物質上保證了這些特征點的穩定性。本文中提出了一種基于尺度因子與Ridgelet變換的圖像去噪算法,通過改變高斯截斷函數中的尺度因子改變對圖像的去噪效果。若尺度因子過小,則平滑程度降低,高斯截斷函數圖像變小，Wavelets的去噪效果優于FRIT；若尺度因子過大，則平滑程度提高，高斯截斷函數圖像變大，FRIT比Wavelets的去噪效果更有效。所以隨著尺度因子的變化，FRIT和Wavelets的去噪效果也發生著變化。

本實驗用圖片的高斯截斷函數作為對比圖，高斯曲面閾值方法是將高斯濾波后的圖像作為閾值面對原圖像進行分割的一種方法[9]，可以很好地抵制灰度不均和噪聲對圖像的影響。二維高斯截斷函數為：

在概率中，以式(8)為基礎的高斯分布形式為：

其中,x0為均值，σ2為方差。式(9)反映了高斯分布的離散程度，就高斯曲線而言，象征著曲線的寬度。

二維高斯函數的曲面形狀如圖1所示。由于圖像可以看作是一個離散的數據矩陣，因此對圖像平滑通常都采用函數模板對圖像進行卷積處理。

在圖像處理中，去噪的目標是最小化均方誤差(MSE)，通常利用歸一化均方誤差(MSE)和信噪比(SNR)作為去噪效果的評價指標。歸一化均方誤差定義為：

其中,m、n為圖像大小。

圖像的信噪比定義為：

其中，n為每個采樣值的比特數。

3 實驗結果與討論

本文實驗采用257像素×257像素的obj圖像作為測試圖像，先對obj圖像應用高斯截斷函數，對高斯截斷函數圖像加均值為零的不同強度(噪聲標準差σ)的高斯白噪聲,以及在不同尺度因子下對含有相同噪聲圖像的去噪。尺度因子是高斯截斷函數的一個重要參數，尺度因子的變化直接影響圖像的變換,從而影響去噪效果，因此尺度因子的變換也影響到圖像的去噪效果。實驗采用SNR作為客觀評價指標。不同噪聲強度下用不同去噪方法去噪后圖像的SNR值如圖2和表1所示。相同噪聲(σ=0.335，噪聲=13.95)不同尺度因子去噪效果如圖3和表2所示。

表1 兩種去噪方法的恢復圖像的SNR值

由圖2和表1可知,對obj圖像的高斯函數進行圖像去噪，采用Wavelets去噪后的圖像比較模糊，采用FRIT去噪后的圖像明顯清晰許多，從信噪比上看，FRIT也明顯高于Wavelets的結果。

由圖3和表2可知，用圖片的高斯截斷函數作為對比圖，對高斯函數中尺度因子的改變不僅影響圖像的大小而且影響去噪效果。在相同噪聲的情況下，當尺度因子在一定范圍內，FRIT優于Wavelets的去噪效果，但是如果尺度因子超出范圍，這種去噪就會失去應有的效果。

本文介紹了Ridgelet變換的基本原理及其在圖像降噪中的應用。實驗結果表明，對于具有直線狀特征的模型，高斯函數中尺度因子在一定范圍內，Ridgelet方法比Wavelet方法具有更好的去噪效果。然而自然圖像的邊緣通常不一定是直線型的，具有曲線奇異性，對于曲線狀特征的圖像，Ridgelet變換就滿足不了要求了。因此Ridgelet變換有待于進一步提高，可選擇合適的理論與脊波變換相結合應用于圖像處理，以彌補Ridgelet變換的不足。

表2 相同噪聲不同尺度下兩種去噪方法的對比

[1]CANDES E J.Ridgelets and their derivatives:representation of images with edges[R].Department of Statistics,Standford University.

[2]CANDES E J.Harmonic analysis of neural networks[J].Applied and Computation Harmonnic Analysis,1999(6):197-218.

[3]DO M N,VETTERLI M.The finite ridgelet transform for image representation[J].IEEE Transactions on Image Processing,2003,12(1):16-28.

[4]DO M N,VETTERLI M.Orthonormal finite ridgelet transform for image compression[C].IEEE International Conference on Image Processing,ICIP-2000,2000.

[5]舒正華，鄒道文，汪勝前.基于有限脊波變換域的圖像水印技術[J].計算機與現代化,2007(3)：35-37.

[6]Xia Junjun,Ni Lin,MIAO Y.A new digital implementation of Ridgelet transform for images of dyadic length[C].Proceedings of the Third International Conference on Information Technology and Applications(ICITA’05),IEEE Computer Society,2005.

[7]DONOHO D L,JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Biometrika 1994,81(3):425-455.

[8]DONOHO D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory,1995,41(3):613-627.

[9]朱虹，許朝暉，周健.基于PCR凝膠成像的信息自動提取[J].中國圖 象 圖 形學報(A 版)，2002,7(12)：1285-1290.