繼電保護器中的諧波分析*

蔣慶斌 ，錢金法 ，曹德健，趙 力*

(1.常州機電職業技術學院，江蘇 常州 213012;2.東南大學信息科學與工程學院，南京 210096)

在實際電網運行中，電力信號不可能是理想的正弦信號，可能含有多次諧波，而諧波的分析關系到繼電保護器能否準確動作，比如，電網中的三次和五次諧波會對零序電流、零序電壓產生影響，在某些情況下，這種影響可能導致一些保護(包括單相接地選線保護)誤動作。此外，諧波分析中，需要對信號進行頻譜校正，通過頻譜校正算法可以知道實際運行中的信號的基波頻率，從而可以用來作為低周減裁保護的判斷依據。

我們知道，任何周期信號都可以分解為含有基波頻率和一系列為基波頻率倍數的諧波的正弦波分量。諧波也是正弦波，且每個諧波也有各自的幅度、頻率和相位。采用傅里葉級數對非正弦周期信號進行分析是諧波分析的最基本的方法。在實際運用中，我們處理的一般都是經過模數轉換后的信號數據，所以合理的分析方法是使用離散傅里葉變換(DFT)以及快速傅里葉變換(FFT)，目前使用比較多的有三種方法:Rifi 頻譜估計法［1］、相位差法頻率估計法［2］、FFT+DFT 譜連續細化分析法［3］。其中相位差法頻率估計法又有兩種不同的方法:通用相位差校正法和分段DFT 相位差校正法。然而對于繼電保護器來說，想實現譜細化分析比較困難，一般的繼電保護器都是采用一個固定的采樣頻率，而采用相位差法頻率估計的計算量比較可觀，所以本文所設計的繼電保護器采用Rifi 頻譜估計來進行諧波分析。

1 諧波分析的基本原理

“諧波”一詞起源于聲學［4］，在信號處理方面有著廣泛的應用。根據法國數學家傅里葉分析證明，任何周期信號都可以分解為含有基波頻率和一系列為基波頻率倍數的諧波的正弦波分量。諧波也是正弦波，且每個諧波也有各自的幅度、頻率和相位。采用傅里葉級數對非正弦周期信號進行分析是諧波分析的最基本的方法。在實際運用中，我們處理的一般都是經過模數轉換后的信號數據，所以合理的分析方法是使用離散傅里葉變換(DFT)以及快速傅里葉變換(FFT)。

在實際的工程應用中，我們不可能對無限長的連續信號進行分析，這肯定不符合工業設計中實時性的要求。我們在對信號采樣后，截取一段數字信號來進行分析。在這一過程中，會產生誤差或錯誤。比如波形的離散采樣會帶來混疊問題，波形截斷會產生泄漏問題，不同步采樣會帶來柵欄效應。

當信號頻率不是FFT 的頻率分辨率Δf 的整數倍時，由于FFT 的“柵欄”效應引起頻譜泄漏，此時信號的實際頻率位于FFT 主瓣內兩條最大譜線之間，可以借助第二譜線與最大譜線的幅度比值來估計信號的實際頻率在兩條譜線之間的位置，即基于FFT 幅度比值的頻率插值方法，稱為Rife 頻率估計方法［2］。

在Rife 幅值比值法中，對信號進行截斷處理，相當于給信號加一矩形窗。矩形窗由于其旁瓣較高，并有負旁瓣，可能導致變換中帶進了高頻干擾和泄漏，甚至出現負譜現象［5］，選擇一個合適的窗能夠有效地抑制譜泄漏提高精度。余弦窗的旁瓣顯著減少，能夠有效地減少頻譜泄漏。故在實際運用中，余弦窗得到了廣泛的應用。下面就加窗后的信號進行具體的校正分析。

設信號為單一頻率正弦信號

對x(t)進行等間隔Δt=T/N 采樣，得到長度為N 的序列

加一個任意窗w(n)后進行離散時間傅里葉變換(DTFT)得到其連續頻譜

設w(n)的離散時間傅里葉變換(DTFT)為W(f)，做歸一化處理后式(3)等價于

而f=kΔf，k 表示頻譜離散后的第幾根譜線，代入得到

當信號非同步采樣時，峰值頻率f0=k0Δf 不處于離散譜線上，有窗函數的譜線的對稱性可以得到主瓣內譜線幅度最大的兩條譜線k1和k2位于k0的鄰近，且|k1－k2|=1。則信號DFT 后在k1和k2點對應的幅度分別為

將兩式相比可得

上式中只有f0是未知數，可以利用數值方法得到近似解。

2 余弦窗下的幅值比較法

(1)加漢寧窗后的頻譜校正分析如上描述，漢寧窗的頻域表達式為

對頻域在0～2π 內進行N 的采樣，可以得到

其中WR(k)為

則

仍然對單一頻率信號進行分析，

由上一節所分析的加窗后的幅值比較法得到

(2)加海明窗后的頻譜校正分析海明窗頻域采樣后的表達式為

則

根據數值方法可以得到δ值，即可求得校正后的頻譜。

(3)加布萊克曼窗后的頻譜校正分析

布萊克曼窗頻域采樣后表達式為

代入式(8)則有

同樣可以根據數值方法可以得到δ值，即可以得到校正后的頻譜。幅度校正為

3 幅值比較應用在繼電保護器中的改進

由上分析，普通的幅值比較法是通過最大譜線和次大譜線的比值進行校正的，統稱為雙譜線插值法。通過計算機的模擬，我們發現當信號頻率處于最大譜線和次大譜線中心區域是算法精度非常高，均方根誤差接近克拉美－羅下限，然而當信號頻率位于最大譜線或者次大譜線附近時，算法的精度下降。在電力系統中，信號的基波頻率在50 Hz 附近，且我們知道一般情況下信號的最大譜線位于50 Hz，所以為了克服這種誤差，根據幅值比較法的思想，選擇三條譜線來做幅值比較的分析，稱為三譜線插值法。

(1)矩形窗下的校正分析

令δ=k1－k0，代入式(24)得

(2)漢寧窗下的校正分析

按照矩形窗下的分析方法，同樣應用在漢寧窗下可以得到

4 仿真分析

在實際電力系統中，電力信號的基波頻率f 在45 Hz～55 Hz 之間變動，在本設計中，采樣頻率fs為1 600 Hz，受限于DSP 芯片的處理速度，通常情況下，取64個點來做FFT。我們知道，電力信號中含有很多諧波分量，所以我們模擬出離散電力信號表達式為

通過實際的測量，模擬了其中的參數，如表1所示。

首先，我們在基波頻率處進行了校正，圖1中圖1(a)表示了不采取任何插值手段時，信號的誤差，最大誤差達到了6%左右;圖1(b)表示了當信號加了矩形窗的Rifi 法插值后的幅度誤差，可以看出誤差依然很大，最大誤差達到3.8%;圖1(c)表示了信號加了漢寧窗后的幅值比較法的幅度誤差;圖1(d)表示了信號采用本文改進的加了漢寧窗后的幅值比較法的幅度誤差。

表1 電力信號諧波分量

圖1 4種校正的幅度誤差曲線

5 結論

從圖2 中可以看出，本文改進的加漢寧窗的幅度比值法針對電力系統中信號來說，誤差最小，達到了繼電保護器的諧波參數測量的要求，能夠做到比較準確的判斷。且我們可以看出三譜線幅值比較法與基本的RIFI 校正計算復雜度差不多。我們在繼電保護器中進行測試，發現，三譜線幅值比較法完全滿足實時性的要求，是一種能夠快速進行諧波分析的方法。

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