數的起源和算具的發展

陶濟林

（太原市財貿學校，山西 太原 030006）

當你按著計算器的數字鍵計算時，當你使用現代計算機處理大量數據時，你可曾想到，我們的祖先是如何計記數和計算的呢？讓我們沿著歷史的脈絡一起來探尋數的起源和算具的發展吧！

1 數的產生和記數符號的出現

人們對于數的認識，并不是天生就有的。遠古時代，人們靠采集和圍獵為生。有無獵物或果實，關系到古人的生存，而“有”和“無”的問題，孕育了人類最初的數學思想。對“有”的進一步認識，又產生了另一個數學問題：“多”與“少”，要想知道有多少果實或獵物，就要作個比較，和什么作比較呢？被拿來作為比較標準的東西就成了最初的記數工具。

手、耳、腳等人體器官成為了人類最早使用的天然記數工具。如果采集到的果實或打到的獵物與一只手的手指數相同，就稱其個數為“手”，如果與人的耳朵一樣多，就稱其個數為“耳”，如果與整個人的手指及腳趾數加起來一樣多，就稱“整個人”。所以，一旦成為記數的工具，一根手指就不僅僅是手指，它可以表示一頭羊、一個果子、一根木頭或任何別的東西。用手指、腳趾難以長時間記錄數據，并且表示的數量有限。經過探索和實踐，古人發明了在繩子上打結的方式記數，這在我國古書《易經》《莊子》中都有記載。

后來，古人又想到用小石子或木棒來幫助記數：在一堆待記數的物品中，每取出一個物品時，就放上一粒小石子或一根木棒，漸漸的，人們就習慣用石子或木棒來計算物品的個數，成為了通用的記數工具。

而在世界上，其他民族也大多經歷了結繩記數的階段。古代印加人運用繩結的數量、尺寸、顏色和形狀來記錄莊稼的產量、租稅、人口以及其他資料和信息。印加王室用結繩法傳遞信息，統治著從厄瓜多爾到智利綿延3 500 km的印加帝國。

隨著生產的發展，要計數的物品越來越多，一些計算的結果還需要長期保存。這時用石子、木棒這種機械的、一一對應的辦法來記數和計算就出現了麻煩，例如，不能為了計算10 000個物品，就用上10 000個石子或木棒，這暴露了實物計數法的局限性。于是，古人想出了用符號這種畫出來的工具來替代石子和木棒記數，使人類的記數方式產生了一次重大的飛躍。

用怎樣的符號來表示數呢？世界各地有不同的做法。中國是世界上最早采用符號記數的國家之一。商周時代，我們的祖先已有一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬的符號，并把它刻在龜甲和獸骨上。

大約公元前3 000年，古埃及人已經開始用象形符號來代替實物記數了。公元前2 500年，巴比倫人采用兩種基本符號構成了記數符號，它們是用一種截面為楔形的筆在泥板上刻寫而成，后人稱之為楔形符號。大約公元前6世紀，古希臘人已熟練采用了一種阿卡提數碼來記數。同期古羅馬人使用7個基本的符號并通過不同的搭配來表示不同的數字符號，即通常人們說的羅馬數字。居住在中美洲尤卡坦半島的瑪雅人是印第安人的一個部落，他們使用“·”和“-”兩個基本符號記數，“·”表示 1，“-”表示“5”，叫做橫點記數法，并采用縱式、二十進制。

公元前2 500年前后，印度出現了哈拉巴數碼。公元前后又出現了婆羅門數碼和卡羅什奇數碼。到了6世紀，印度產生了十進制的位值制數碼。8世紀已有了零的符號。印度位值制數碼約在9紀傳入阿拉伯地區并演變成了阿拉伯數字。我們現在通用的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9就是阿拉伯數字，是在吸收古印度記數法和古希臘記數法的基礎上發展起來的。

2 計算問題的產生和算具的演變

隨著生產水平的不斷提高，出現了越來越多的剩余產品，簡單的記數顯然已不能滿足人們的需要，他們遇到了大量加減、均分等問題，于是出現了“計算”問題。在長期的勞動實踐中，人們不但制定了數字符號，還發明了加減乘除等數學運算符號，并在17世紀得到了廣泛的使用。

在中國，當奴隸制社會從其初級階段向中級階段發展的時候，社會的生產力發生了新的變化，原始的計數工具已不能滿足社會生產和產品交換的需要，人們便引進了一種統一的、可以代替數字的實物——籌。《夏侯陽算經》將其記數法歸納為：“一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當，滿六以上，五在上方，六不積算，無不單張”。而用算籌擺成數來進行計算，稱為籌算。它是中國人獨創的計算方法，與現代筆算差異很大。這種算具使數字在計算中既直觀又抽象，體現了中國古代人的智慧。從我國最早的天文學著作《周髀算經》中可以推定：我國最遲在西周或西周以前就有了籌算，到了春秋戰國時期，人們已能熟練運用。

漢朝是我國歷史上一個文化的繁榮時期，此時的天文、地理、歷法、水文、測量、數學發展到了一個較高的水平。對一些復雜的數學命題只靠籌算來進行，已經不能勝任，于是一些新的計算工具和計算方法應運而生，如：太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌，把頭、了知、成數、計數、積算、珠算（使用游珠算盤）、龜算……

據史料考證：算盤在唐代就已經出現了，起初并不完善，經過發展可以用來做加減乘除以及求平方根和立方根等多種運算，是當時一種非常先進的計算工具。它與籌算并存，最終在元代中葉后取代了籌算。我國古代算盤一般含有13檔算珠，當中由一根橫梁隔開，每檔下有5顆算珠，每顆當一，上有兩顆算珠，一顆當五。算法主要采用口訣進行。明代數學家程大位在《算法統宗》中，將各種算法編成口訣記載下來，對珠算的普及和傳播起到了很大的促進作用。我國的算盤結構簡單，好學易懂，運算快捷，攜帶方便，流傳極為廣泛。它不僅對中國科技和經濟的發展起到過有益的作用，而且流傳到日本、朝鮮及東南亞各國，對世界文明作出了重大貢獻。算盤被譽為“四大發明”之外的“第五大發明”。即使是在計算機時代的今天，人們還在使用算盤，國際上多次進行的計算速度的比賽中，每次加減法速度的冠軍都是算盤，但是乘除法稍慢，為此，又研制出了電子計算器和算盤結合為一體的電子算盤。

文藝復興運動給歐洲文明帶來了曙光。17世紀以后，數學和計算工具的發展重心轉移到了歐洲，各種各樣的計算機器不斷涌現，有力地推動了世界科技的發展。1642年法國人帕斯卡研制出了一臺手搖計算機，能計算8位數的加減法，叫做加法機。17世紀70年代德國數學家萊布尼茲研究出了四則計算機。17世紀，蘇格蘭數學家納皮爾發明了一種算籌，能進行乘、除、平方根、立方根等運算。1890年美國人口普查中，豪列利特統計機發揮了神威。并在許多大企業的會計業務中發揮作用。

在一些人致力于研究各類機械計算機的同時，出現了另一批計算工具的探索者，他們從另一個角度探索計算工具的改革，這就是模擬計算機的研制。比機械計算機稍早出現和并行發展的各類計算尺，是最早的模擬計算工具。1620年，英國人岡特制造了一種計算尺，它可以把乘、除運算化成加、減運算。1632年，英國人奧特雷德發明了圓形計算尺和有滑尺的計算尺。19世紀中葉以后，出現了有游標的現代型計算尺。后來又制造出了適應各種要求的普通計算尺和專用計算尺。

20世紀初，各種尺算工具廣泛流傳。在計算機普及之前，許多國家的中學數學課程中都設有計算尺的教學內容。現代計算尺不僅可以做乘除、比例、平方、立方、開方、對數、三角函數、雙曲函數等運算，還能解代數方程。計算尺曾被看做是科技進步的象征，但是其準確度依賴于模擬物理量的精確度，限制了其通用性和準確度，并在運算速度和使用方便程度上較電子計算器遜色，最終被后者取代。

3 不斷發展的計算機

電子計算機是20世紀人類最偉大的發明之一。從第一臺計算機“艾尼阿克”（ENIAC）問世以來，電子計算機已更新了數代。

第一代：電子管計算機。采用水銀延遲線做內存，磁鼓做外存。體積大、耗電多、運行速度慢。主要用于科學計算和軍事方面。

第二代：晶體管計算機。內存主要采用磁芯，外存大量采用磁盤，輸入輸出設備有了較大改進。體積顯著減少、可靠性提高、運算速度可以達到每秒百萬次。有了高級程序設計語言和編譯系統，開始用于管理為目的的信息處理。

第三代：固體組件計算機。主要采用中、小規模集成電路。運算速度達到每秒千萬次，可靠性大大提高，體積進一步縮小。軟件方面進步很大，有了操作系統，開展了計算機語言的標準化工作，并提出了機構化程序設計方法，出現了計算機網絡。其應用開始向社會化發展，應用領域和普及程度迅速擴大。

第四代：大規模集成電路計算機。它的出現使計算機發生了巨大的變化，特別是在存儲容量、運算速度、可靠性和性價比等方面均比上一代計算機有了較大突破。各種系統軟件和應用軟件大量推出，功能配置空前完善，應用遍及所有領域，成為人類社會活動中不可缺少的工具。

第五代：人工智能計算機，它改變前幾代計算機“計算功能+數據存儲”的結構，變為“推理功能+知識儲存”的結構，其核心是人工智能。它把許多處理機并聯起來處理信息，速度大大提高。它不僅能計算，還能識別聲音、文字和圖像，及進行語言翻譯。

第六代：人工神經網絡計算機，它模擬人腦的神經網絡結構，滿布的微處理器同時運算，信息處理速度大大提高，具有運算、識別、學習、記憶、聯想等功能，像人腦一樣聰明。雖然他不以單純的計算為目的，但確有提高人類綜合運算能力的美好前景。

計算機在不斷地發展，它到底有多大的計算能力難以說清，已有的事實讓我們感受到了它的巨大威力，人類有了計算機才算真正插上了計算的“翅膀”。人類創造了計算機，讓它越來越有智慧，甚至在計算速度方面遠遠超過了人的能力，但計算機不可能完全代替人腦，人類會用他們的聰明才智創造出更快、更好的計算工具來實現自己偉大的夢想。