數學之美

馬奎香

（山海關鐵路技師學院 河北 秦皇島 066205）

數學是重要的基礎科學，是通向科學大門的金鑰匙。“一種科學只有在成功地運用數學時，才打到了真正完善的地步”。

數學是鍛煉思維的體操。數學使人思考問題時更合乎邏輯、更有條理、更嚴密精確、更深入簡潔、更善于創新。

數學是美的。數學的美體現在方方面面，數學美在幾乎所學科中的廣泛應用。黃金分割的天然合理、二次曲線的對稱和諧、代數的簡潔、幾何的優雅、邏輯論證的嚴密，讓人們充分領略數學之美。

1 黃金分割的天然合理之美

在線段AB求一點C使AB：AC=AC：BC，稱點C是黃金分割點，AC：AB=≈0.618。

黃金分割不但在藝術和美學的表現形式上讓人賞心悅目，而且在人體上處處體現。例如，從美學角度來說，矩形的長寬之比等于0.618是最美的，我國國旗就是按這種比例制作的，所以看起來很美。又如，人體頭頂到腳底的肚臍部位，從肚臍以上到頭頂的咽喉部位處于黃金分割點時，人體看起來最美。再如，人的正常體溫是37℃左右，而外界溫度是23℃時感到最舒適。在這個環境中，人體的生理機能、生活節奏及新陳代謝水平也處于最佳狀態，而37℃與23℃的比值差不多是0.618.

我國數學家華羅庚在推廣優選法時，其關鍵數是用0.618求得的。

黃金分割線所體現的數學之美，俯首而拾。

2 二次曲線的對稱、和諧之美

圓具有良好的對稱性，過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸。十五的月亮是圓的，所以看起來很美。

橢圓、雙曲線都是中心對稱圖形，拋物線是軸對稱圖形，同是圓錐曲線，同是二次方程，都具有光學性質。二次曲線的切線都具有獨特的性質；拋物線上任一點的切線與對稱軸所夾的角等于這條切線與過該點的焦點半徑所夾的角，橢圓上任一點的切線和過該點的兩個焦點半徑成等角，雙曲線上任一點的切線等分過該點的兩個焦點半徑所夾的角。根據切線的性質，可制作各式各樣的反光鏡面。

圓 X2+y2=r2上點（x0，y0）處的切線方程是 x0x+y0y=r2，橢圓=1上點（x0，y0）處的切線方程是=1,雙曲線=1 上點 （x0，y0）處的切線方程是=1，拋物線 y2=2px 上點（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）。曲線方程和切線方程在形式上如此對稱和諧，并且容易記憶。二次曲線的對稱美，可以由方程判斷，也可以從圖形上看出。

一個橢圓的任意內接六邊形，其三對對邊的交點必定共線（巴斯卡定理）；一個橢圓的任意外切六邊形，其三對對頂的聯線必定共線（布利安雙定理）。橢圓具有如此優雅的性質，繪出的圖形更能體現數學之美。

3 代數的簡潔之美

數學的美在于它用幾個字母符號就能表示若干信息的簡單明了，美在它大膽假設和嚴格論證的偉大結合。

例 1：費馬大定理

“當n是一個大于2的正整數時，不定方程xn+yn=zn沒有正整數解。”這一結論是1637年左右由法國費馬提出的，被稱為“費馬猜想”，習慣上又稱為“費馬大定理”。從1678年至1844年間，萊布尼茲、歐拉、勒讓德、狄利克雷、拉美、庫默爾等數學家只證明了一些特殊情形。

1908年哥廷根皇家科學會懸賞10萬馬克，獎給最先證明這一定理的人，為期100年。

1944年有人證明了2＜n＜4002情形下費馬大定理成立。

1976年有人借助大型電子計算機證明了2＜n＜125000情形下費馬大定理成立。

1994年由英國數學家懷爾斯完全證明了歷時350多年的費馬大定理，獲得了10萬馬克獎金。

例 2：哥德巴赫猜想

1742年提出的哥德巴赫猜想：“任何大于6的偶數都是兩個奇質數之和”。要證明這個問題，有幾種不同的思路，其中之一是證明某數為兩數之和，其中第一個數的質因數不超過a個，第二個數的質因數不超過b個。這個命題成為“a+b”，最終要達到的目標是證明“a+b”為“1+1”。

在 1966 年之前， 中外數學家先后證明了 “9+9”、“6+6”、“5+5”、“4+4”、“3+3”、“2+3”、“1+3”。

在1966年至1973年間，我國數學家陳景潤證明了“1+2”，他的證明震驚中外，被命名為“陳氏定理”。

陳景潤沒有完全證明哥德巴赫猜想，等待后人去證明“1+1”。

4 幾何的優雅之美

一種科學的產生和發展，都源于人們的現實生活。在我國，約公元前1000年，在陶器的花紋中就有了菱形、正方形圖案。公元100年，在《九章算術》中就記載了“商高定理”（勾股定理）。在三國時代，趙爽用圖形證明了勾股定理。

4000多年前，埃及尼羅河每年泛濫，兩岸的土地被淹沒，大水退后，為了解決土地界限問題，逐漸產生了測量土地和畫圖的知識。后來，人們稱這些知識為幾何。

隨著生產的發展，人們對圖形的認識逐步拓展，許多數學家花費了大量的時間，將這些知識系統的總結成一門學科。最有成就的是希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》。

人們對圖形的認識，首先是從具體的圖形中抽象出點、線、面、體等概念。其次是用運動的觀點來研究圖形，把圖形看成點在空間運動的軌跡。再次是對空間圖形認識的擴展。人類居住的空間是三維的，所以，幾何圖形也只能從長、寬、高三個方向度量，這三維再加上時間，就得到四維空間的概念。接下來，由于拓樸學的誕生，非歐幾何和射影幾何的出現，而將幾何學的發展推向深入。隨著信息技術的不斷發展，分形幾何又成為當代幾何的一個新亮點。

數學的美，數不勝數。用網友所作的這篇《沁園春·數學》來贊美數學吧。

沁園春·數學

數苑飄香，千載繁榮，百世流芳。

讀《九章算術》，何等精彩，《幾何原本》，意味深長；

復變函數，概統理論，壯闊雄奇涌大江；

逢盛世，趁春明日暖，好學軒昂。

難題四處飛揚，引無數英才細參詳；

仰加羅華氏，煌煌群論，陳氏定理，笑傲萬方；

一代天驕，懷爾斯，求證費馬破天荒；

欣昂首，看數學發展，無可限量！

［1］藍天.數學是美的[J].少年智力開發報，2012-6-29.

［2］李書平.淺談數學之美[J].技工培訓之友，1996,6.

［3］曲一線.5年中考3年模擬·數學[M].北京：首都師范大學出版社，2006,8.