科學發現年齡定律的再探討

周愛民

（鄭州大學圖書館 河南 鄭州 450002）

梁立明、 趙紅洲已探討過科學發現年齡定律。 他們探討的科學發現年齡定律分析方法已作為經典方法進入了許多科學計量學書中。 為了探索出科學發現年齡符合威布爾分布，我們希望不作任何參數假定的情況下，得到威布爾分布的參數，為此我們從威布爾分布基本概念談起。

1 威布爾分布基本概念

定義：若非負隨機變量X 有分布函數

其中a、γ、k 均大于0，則稱X（或F（x））有威布爾分布。設隨機變量x 服從三參數威布爾分布，則其概率密度函數和累積概率分布函數為

其中，K＞0 為形狀參數，a＞0 為尺度參數，γ≥0 為位置參數。

表1 1500-1960 年按世紀分期重大科學發現與年齡的統計數據

2 重大科學發現的年齡數據（表1）

3 數據處理

威布爾分布一般只給出時間， 即第一個數值產生的時間、第二個數值產生的時間、第三個數值產生的時間、…、第n個數值產生的時間。 但1500-1960 年按世紀分期重大科學發現與年齡的統計數據卻是分組型數據，即每十歲間產生了多少重大科學發現，因此我們不能直接利用威布爾模型。 我們必須給出新的方法。 我們僅分析1601-1700 年期間的數據。由于此數據表給出的是歲數與發生的頻率，而不是重大科學發現產生時的具體歲數，所以我們下面用威布爾累積概率分布函數來作為擬合模型。

威布爾模型中，F（x）表示累積概率。 顯然我們可以把問題轉化成：

F（20）-F（10）=0.05

F（30）-F（20）=0.28

F（40）-F（30）=0.26

F（50）-F（40）=0.24

F（60）-F（50）=0.09

F（70）-F（60）=0.08

為此我們定義一個新差函數

Φ（x）的值如表2。

表2 Φ（x）的值

顯然這是一個一元非線性回歸問題， 我們利用dps 軟件中的一元非線性回歸程序計算得：

R2=0.9077，擬合精度還可以。我們考慮到x＞12.7164 則定義累積概率分布函數和概率密度函數為：

我們考慮到x＞12.7164，計算區間概率值P，區間概率值P與差函數Φ（x）的擬合值（x）的唯一差別是第一個值不同，（x）中的]在x＜12.7164 處取非0 值，而

則

在x＜12.7164 處只能是0 值， 因此， 區間概率值P 在x＜12.7164 處只能是0 值。 二者矛盾，因此，必須按定義的累積概率分布函數計算區間概率值P，得：

表3 計算結果分析

最大殘差為3.3715。

4 分布檢驗

設數組數為k，各組頻數為fi，總頻數為n，那么有卡方

定理，若n 充分大，則不論總體服從什么分布，統計量

總是近似地服從自由度為k-r-1 的χ2分布。

其中r 是被估參數的個數，pi是被假定分布的概率（即計算出的概率），而不是原頻率所決定的觀察概率。 這個定理告訴我們，只要能通過卡方檢驗，就可以認為服從被假定的分布。

針對1601-1700 年期間的數據擬合結果，有

5 最佳發現年齡

最佳發現年齡的特點是成果增加最快， 成果增加最快處，累積函數

數量增加也最快，因此，該式的導數最大。 即

即：

化簡后可寫成下式：

解得：

我們把各個參數代入得：

x≈32.39

6 重大科學發現的年齡半衰期

我們令

利用DPS 軟件求得

x=36.3089

即1601-1700 這個世紀完成世界上全部重大科學發現的一半年齡是36.3089 歲。

7 結語

從前邊分析知： 重大科學發現年齡確實服從威布爾分布。 一般而言威布爾分布位置參數要小于自變量的最小值，但具體是多少，必須進行計算。

［1］程侃.壽命分布類與可靠性數學理論[M].科學出版社，1999：25-26.

［2］梁立明，趙紅州.科學發現年齡定律是一種威布爾分布[J].自然辯證法通訊，1991（1）.