一種新的變步長(zhǎng)LMS 自適應(yīng)濾波算法及分析

楊曉波

（石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子工程系 河北 石家莊 050081）

0 引言

圖1 自適應(yīng)濾波的原理框圖

自適應(yīng)濾波是現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)的重要研究領(lǐng)域，自適應(yīng)濾波技術(shù)廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)控制、系統(tǒng)辨識(shí)等領(lǐng)域。 圖1 為自適應(yīng)濾波系統(tǒng)辨識(shí)的一般原理框圖， 衡量自適應(yīng)濾波算法的主要標(biāo)準(zhǔn)是：初期收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤能力。 Widrow 等人[1]提出的最小均方誤差（LMS）算法因其計(jì)算簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)因而獲得了廣泛應(yīng)用，但此算法的缺點(diǎn)是收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能不能同時(shí)得到滿足，即選擇較大的步長(zhǎng)收斂快但穩(wěn)態(tài)誤差大，選擇較小的步長(zhǎng)穩(wěn)態(tài)誤差小但是需要較長(zhǎng)的收斂時(shí)間，對(duì)此文獻(xiàn)[2、3、4]進(jìn)行了詳細(xì)的研究。 由于LMS 算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的性能由步長(zhǎng)來(lái)控制[5]，為此人們提出了許多的基于改變步長(zhǎng)機(jī)制的LMS 算法。文獻(xiàn)[6]提出了一種改變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法，其步長(zhǎng)因子隨迭代次數(shù)增加而減小，文獻(xiàn)[7]提出使步長(zhǎng)因子正比于誤差信號(hào)的大小，文獻(xiàn)[8]提出步長(zhǎng)和輸入與誤差之間互相關(guān)值成正比，文獻(xiàn)[9] 提出了一種步長(zhǎng)為Sigmoid 函數(shù)的變步長(zhǎng)算法 （即SVSLMS 算法）。此算法的優(yōu)點(diǎn)是在初始階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)步長(zhǎng)比較大， 從而有較快的收斂速度； 在算法收斂后，不管主輸入干擾v（n）有多大，都保持很小的調(diào)整步長(zhǎng)從而獲得很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。 此算法的缺點(diǎn)是當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差e（n）在接近零處變化時(shí)，步長(zhǎng)變化太大，使得SVSLMS 算法在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段仍有較大的步長(zhǎng)變化。 為此，文獻(xiàn)[10]又在Sigmoid 函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種新的步長(zhǎng)調(diào)整原則，即步長(zhǎng)因子μ（n）和誤差e（n）之間的新的非線性函數(shù)，μ（n）和e（n）的函數(shù)關(guān)系如下：

其中，參數(shù)α＞0 控制函數(shù)的形狀，參數(shù)β＞0 控制函數(shù)的取值范圍，μ（n）和e（n）的函數(shù)曲線如圖2，圖3 所示，該函數(shù)比Sigmoid 函數(shù)簡(jiǎn)單，并且在e（n）接近零處具有緩慢變化的特性，在一定程度上克服了Sigmoid 函數(shù)的不足。 文獻(xiàn)[10]提出的自適應(yīng)濾波的算法如下：

文獻(xiàn)[10]中對(duì)算法進(jìn)行了仿真，取得了較好的效果，并驗(yàn)證優(yōu)于SVLMS 算法。 但是，其算法中控制步長(zhǎng)函數(shù)形狀的參數(shù)α 是不變的，圖2、圖3 是文獻(xiàn)[10]的步長(zhǎng)因子隨誤差信號(hào)e（n）變化的曲線。

我們從μ（n）和e（n）的函數(shù)關(guān)系曲線圖2、圖3 可以看出， μ（n）隨e（n）變化的總體規(guī)律是當(dāng)選擇較大的α 時(shí)算法具有較大的初期收斂步長(zhǎng)，但是當(dāng)e（n）接近零時(shí)，步長(zhǎng)同樣比較大；對(duì)于比較小的α 當(dāng)e（n）接近零時(shí)初期收斂步長(zhǎng)小，但同時(shí)初期收斂步長(zhǎng)也較小。 基于以上分析，本文認(rèn)為在算法的收斂初期可以選擇較大的α，取較大的步長(zhǎng)，達(dá)到較快收斂的目的，而當(dāng)e（n）接近零時(shí)，也就是收斂的后期可以根據(jù)一個(gè)e（n）的門限Ve 切換到較小的α，以得到較小的穩(wěn)態(tài)誤差，這樣步長(zhǎng)更為理想。

1 一種新的LMS 算法

由此，根據(jù)文獻(xiàn)[10]提出的步長(zhǎng)因子和誤差信號(hào)的非線性函數(shù)，本文提出的一種新的變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法如下：

其中Ve 為切換步長(zhǎng)因子的時(shí)e（n）的門限值，是一個(gè)較小的正值，α1和α2分別是切換前后控制函數(shù)形狀的參數(shù)，α2＜α1。

圖2 μ（n）和e（n）的關(guān)系曲線（α 不同，β 相同）

圖3 μ（n）和e（n）的關(guān)系曲線（α 相同，β 不同）

LMS 自適應(yīng)濾波的收斂條件是：0＜μ＜1/λmax，λmax是輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣的最大特征值，由前面的討論可知參數(shù)β（β>0）控制函數(shù)的取值范圍，所以在β＜λmax的條件下，算法一定收斂。 同時(shí)由圖3 可知，較大的β 值對(duì)應(yīng)較大的步長(zhǎng)，所以在滿足β＜λmax條件下，使β 的值越大越好，因?yàn)樗惴ㄖ杏胁介L(zhǎng)的切換，所以不用擔(dān)心穩(wěn)態(tài)誤差過(guò)大的問(wèn)題。

圖2 是固定β 的情況下變化α 的步長(zhǎng)曲線，α 越大對(duì)于相同誤差信號(hào)下步長(zhǎng)越大，仿真結(jié)果還表明當(dāng)α>1000 后，步長(zhǎng)曲線已沒(méi)有明顯變化， 所以初始收斂時(shí)可以令α1=1000，因?yàn)樗惴ㄖ杏胁介L(zhǎng)的切換， 所以也不用擔(dān)心α1太大會(huì)造成穩(wěn)態(tài)誤差過(guò)大的問(wèn)題。

表1 Ve 和α2 對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度的影響

分析圖2 可知， 門限Ve 和α2的選擇對(duì)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是一個(gè)調(diào)諧的過(guò)程， 下表列出了Ve 和α2的取值對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度的影響。

由表1 可知通過(guò)仿真可以根據(jù)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的要求調(diào)諧設(shè)定Ve 和α2的取值。 當(dāng)需要小的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)可以選擇較大的Ve 和較小α2， 當(dāng)需要較快的收斂速度時(shí)選擇較小的Ve 和較大α2， 當(dāng)然也可以通過(guò)Ve 和α2的調(diào)諧同時(shí)獲得相對(duì)較好的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。

2 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果及分析

為同時(shí)獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差下面通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)確定Ve 和α2， 并檢驗(yàn)我們給出的變步長(zhǎng)LMS 自適應(yīng)算法的收斂性以及Ve 和α2的選擇對(duì)算法收斂性能的影響的分析，為了對(duì)比，本文選用文獻(xiàn)[10]的仿真條件：

1）自適應(yīng)濾波器的階數(shù)L=2；

2）未知系統(tǒng)為FIR 濾波器，其系數(shù)為W= [0.8，0.5]T，在第500 個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變，系數(shù)變?yōu)閃= [0.4，0.2]T；

3）參考輸入信號(hào)x（n）是均值為零，方差為1 的高斯白噪聲；

4）v（n）是與x（n）不相關(guān)的高斯白噪聲，其均值為零，方差為0.04.分別作200 次仿真，采樣點(diǎn)數(shù)為1000，然后求其平均值，得到學(xué)習(xí)曲線。

圖4 是在α=1000，β=0.2 情況下的收斂曲線（在該實(shí)驗(yàn)條件下，文獻(xiàn)[10]已經(jīng)驗(yàn)證β=0.2 為最優(yōu)），算法在均方誤差為0.05 左右收斂，所以Ve 可以在0.05 左右取值，由于e（n）有一定的隨機(jī)性， 為了不影響收斂速度可以取的稍小于0.05，由圖5 的仿真結(jié)果可證明取0.03 是合適的。

圖4 α=1000，β=0.2 收斂曲線

圖5 β=0.2，α1=1000，α2=20 情況下Ve 取不同值的仿真曲線

圖6 是β=0.2，α1=1000，Ve=0.03 情況下不同α2的仿真曲線，可以看出α2=100 時(shí)，算法收斂快，但是穩(wěn)態(tài)誤差要大；α2=20 時(shí)，算法收斂慢，但是穩(wěn)態(tài)誤差要小；中間的曲線為α2=60時(shí)情況， 算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是前兩種情況的折衷，對(duì)此， 如果想讓收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差比較合適可以取為60 左右。 由此可以確定本文算法的參數(shù)α1=1000，α2=60，β＝0.2，Ve=0.03；

圖6 β=0.2，α1=1000，Ve=0.03 情況下不同α2 的收斂曲線

圖7 兩組不同Ve、α2 的收斂曲線

圖5 在α2相同情況下，Ve 越小收斂越快，但是穩(wěn)態(tài)誤差越大； 由圖6 可知Ve 相同情況下，α2越小收斂越慢，但是穩(wěn)態(tài)誤差越小。

圖7 是Ve 和α2分別取兩組不同值的情況的收斂曲線，Ve=0.03，α2=100 切換門限小，α2大其收斂速度快但是穩(wěn)態(tài)誤差較大，Ve=0.5，α2=20 切換門限大，α2小，其收斂速度慢但是其穩(wěn)態(tài)誤差小，這和第2 節(jié)對(duì)Ve 和α2的分析是一致的，證明第2 節(jié)的分析是正確的。

3 本文算法和其他文獻(xiàn)算法的比較

仍利用上面的實(shí)驗(yàn)條件，在此實(shí)驗(yàn)條件下文獻(xiàn)[10]算法的α＝300，β=0.2（最優(yōu)情況），對(duì)于本文算法α1=1000，α2=60，β=0.2，Ve=0.03；

圖8 文獻(xiàn)[10]算法和本文算法比較

圖8 為本文算法和文獻(xiàn)[10]算法的比較，可以看出本文算法收斂更快，并且具有更好的穩(wěn)態(tài)。 并且在第500 個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻未知系統(tǒng)發(fā)生變化時(shí)，本文算法能比文獻(xiàn)[10]算法更快地回到穩(wěn)態(tài)，這說(shuō)明本文算法具有更好的魯棒性[11]。

4 結(jié)論

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