層間加層結構振動頻率分析

李朝銀 張 政 鄧 理

(1.內蒙古科技大學建筑與土木工程學院，內蒙古 包頭 014010; 2.鞍山三冶建筑工程有限公司，遼寧 鞍山 114000;3.北京沃利帕森工程技術有限公司，天津 300201)

1 層間加層結構

層間加層(一變二)的建筑結構在其使用功能及結構的力學性能都有不可抹去的變化，可以從層高較大的大型商場建筑更改為具有躍層式風格的優雅型住宅或者具有雙層使用價值的商品建筑，也可以使原本為大層高的工業廠房跨越成為因為工業需求的雙層使用廠房或者住宅，從大層高演變成躍層式住宅，即套內空間跨躍兩樓層及以上的住宅，其通過設置戶內樓梯連接各樓層。躍層式住宅打破了傳統住宅平面格局，引入了面積加體積的空間概念，充分滿足了強調生活品質與個性展現這一現代居住觀念的需求，成為當前房地產市場時尚的住宅形式，帶有強烈現代氣息的錯復合體結構，既有豐富順暢的動感層次，又有視覺空間深度;既給人以開朗和清新，又有別墅的豪華品質，讓空間與生活更加契合，人性需求得到充分滿足。

層間加層后使得原有的結構受力體系及動力特性有了較大的改變，其動力特性的變化對于研究結構的地震作用和動力效應有重要作用，本文探討了加層建筑和原有的大層高建筑的振動頻率和振型的數理關系。在計算和探討結構的動力效應之前，首先應得知結構的自身特性，而自振周期是結構的一種固有屬性，也是結構本身一個很重要的動力特性，由式(1)可見，結構的自振周期與其質量和剛度的大小有關。質量越大，則其周期也越大，而剛度越大其周期就越短。

結構自振頻率和周期的關系為:

動力學研究中還有結構自身阻尼對結構的影響，嚴格來說，有阻尼的結構體系的自由振動不具有周期性，因為在自由振動過程中其振幅不斷衰減，直到振動停止。但由于體系的運動是一種往復運動，質點每振動一個過程所需要的時間間隔是相等的，因此把這個時間間隔稱為有阻尼結構體系的周期T′，由式(3)可知，體系有阻尼時的自振頻率ω′小于無阻尼時的自振頻率ω，這說明由于阻尼的存在，使結構的自振頻率減小，也就是說使結構的周期增大。

其中，ζ為結構的阻尼比，其計算式為:

在實際結構中，阻尼比ζ的數值一般都很小，其值大約在0.01～0.1之間，因此有阻尼頻率ω′與無阻尼頻率ω相差不大，在實際計算中近似的取ω′=ω。

2 變層前后結構的自振頻率計算比較

結構的質量和剛度是影響結構自振頻率的兩個關鍵因素，在計算過程中假使結構的原有構件尺寸不變(最關鍵的是保持柱子的尺寸不變)來研究加層(變層)前后結構的自振頻率間的關系，加層或者變層處理以后如果柱子的幾何尺寸和外形保持不變的情況下，結構的質量將有所增加，同時由于變層后質量的分布變化使計算過程中質點數的增加，這使得計算抗側剛度時計算高度變小，即使得剛度變大，下面以計算例子加以說明變層前后的自振頻率關系以及分布狀況。

設有以單層打層高建筑，在動力計算或者地震作用計算中假設為單質點體系，結構計算簡化模型及計算簡圖如圖1a)所示，橫梁剛度無限大，集中于樓面或屋面的質量為m，計算高度為H，設層間柱子總剛度EI=1。

圖1 結構體系及計算簡圖

2.1 單質點自由振動分析

單質點自由振動體系在不考慮阻尼作用的情況下計算的自振頻率:

2.2 變層后體系的振動分析

為了能夠比較真實地反映其動能性能，結構變為多質點的多自由度體系，并按多質點體系進行結構的動力特性分析。無阻尼自由振動中，只有當:時，才可能得到有限振幅的自由振動。稱為體系的頻率方程，展開一個具有N個自由度體系的行列式得到一個頻率參數ω2的N次代數方程。這個方程的N個根(ω21，ω22，ω23，…，ω2N)表示體系可能存在的N個頻率。具有最低頻率的振型叫第一振型，第二低頻率的振型叫第二振型，等等。全部振型頻率按次序組成的向量叫頻率向量[ω]:

單層變雙層(一變二)后簡化模型和計算簡圖如圖1b)所示。

則有:

結構的質量矩陣為:

層間抗側剛度為:

則頻率方程為:

由上式展開得:

解該方程得:

2.3 對H1，m1及m2附不同的初始值進行討論

以上結果說明在結構的不同位置加層，得到的新結構振動頻率和原結構是各不相同的，在變層處理的過程中有時可能因為對

建筑使用的需要會出現軸向作用力的影響，在不變的軸向力作用下，計算結構的振型和頻率的方法和無軸向力的體系完全一致，但是在這種情形中運動方程中必須包括幾何剛度，即:

頻率方程變為:

其中，[ˉk]為組合剛度矩陣，體系在軸向力的作用下減小了結構的有效剛度，振動頻率因此減小。

3 結語

通過在保持原有結構柱的幾何尺寸不變的情況下，分別對沿結構高度方向1/3，1/2，2/3處加層處理后結構的自振頻率分析，得到了各自的振動頻率，從結果中可以清楚表明，在結構的不同位置加層后的自振頻率各不相同，而并非保持不變，且與原結構的頻率比值也沒有規律性的變化，以此可以在設計中加以重視。

[1] R.W.克拉夫，彭 津.結構動力學[M].王光遠，譯.北京:北京科學出版社，1981.

[2] 左宏亮，戴納新，王 濤.建筑結構抗震[M].北京:中國水利水電出版社，2009.

[3] 嚴 熙，林偉明.躍層住宅的探索[J].廣東建材，2004(10):59-60.

[4] 譚燕秋，董志磊.TMD在框架結構輕鋼加層的位置優化分析[J].山西建筑，2005，31(34):1-2.