基于三角級數(shù)法的U型槽底板內(nèi)力計算

李 寧

（中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司 四川 成都 610031）

0 引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)推進(jìn)，鐵路及公路等交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)也得到了迅猛發(fā)展。U型槽作為一種適用于地下水豐富、地下水位較高、放坡條件受到限制的挖方路基地段的新型結(jié)構(gòu)，同時具有節(jié)約土地資源、環(huán)境影響小的特點，因此在近幾年的高速鐵路建設(shè)[1]、城市交通建設(shè)中被廣泛應(yīng)用。

作為一種新型結(jié)構(gòu)，業(yè)內(nèi)針對該結(jié)構(gòu)的計算方法尚不夠成熟，而其他大型通用計算軟件在計算U型槽結(jié)構(gòu)時，要求設(shè)計人員具備足夠的經(jīng)驗，設(shè)置合理的計算邊界條件，因而使計算過程變得十分復(fù)雜。因此研究U型槽結(jié)構(gòu)的理論計算方法具有重大的實際意義。

在計算中，邊墻計算按懸臂擋墻計算，其土壓力按主動土壓力考慮。底板受到邊墻所傳遞的內(nèi)力，以及其他邊界荷載的共同作用，其受力條件復(fù)雜。底板計算一般采用經(jīng)驗類比法估算底板內(nèi)力，或者按彈性地基梁法加以計算。文本結(jié)合鐵路工程實例，充分考慮計算方法對鐵路實際工程適用性，采用三角級數(shù)法對U型槽底板內(nèi)力進(jìn)行計算。

1 三角級數(shù)法[2]

1.1 基本公式

考慮圖2所示等截面梁。梁的長度為2l，寬度為b，設(shè)ξ=x/l，抗彎剛度為EI，地基模量為E0。梁上受任意分布荷載q（ξ），有：

圖2 模型簡圖

設(shè)地基反力為p（ξ），則梁的平衡條件方程是：

1.2 配點方程

根據(jù)彈性理論中弗拉芒公式，在半無限體表面作用一集中力P，距力作用點r處的一點相對于另一點D（距力作用點d）的沉陷是：

因此，對于壓力p（ρ）作用范圍內(nèi)的任意一點ξ，由ρ處微段荷載p（ρ）ldp引起的沉陷在荷載作用范圍內(nèi)積分,就可以得到：

引入沉陷函數(shù)U（ξ），整理得到

1.3 地基反力表達(dá)式

將地基反力展開為余弦級數(shù)：

將式(6)代入平衡條件方程（式（2）），可得

地基反力確定后，梁的內(nèi)力可以下式計算：

式中：Qq右（ξ）、Qq右（ξ）為脫離體上的外荷載簡化到 ξ截面處的合力及力矩。

2 工程實例

某線新建時速200km/h客運無砟軌道鐵路U型槽，工程參數(shù)如下

（1）結(jié)構(gòu)尺寸：底板寬 16.4m，高 1.0m，邊墻高 H=6m，厚度0.8m；

（2）設(shè)計水位：運營階段地下水位為地表以下1.0m；

（3）墻背回填卵石土參數(shù)：容重 γ=21kN/m3，浮容重 γ`=11kN/m3，內(nèi)摩擦角 φ=35°，粘聚力 c=0kPa；

（4）地基土彈性模量：E=200MPa；

（5）材料：U型槽底板、邊墻均采用C35混凝土；

（6）計算單元：沿線路方向取1m單位寬度作為計算單元。

按庫倫土壓力計算邊墻主動土壓力，整理底板荷載如圖3所示，底板自重荷載 qG=25kN/m3，邊墻自重qb=150kN/m3，趾板配重qp=126kN/m3，換算土柱荷載qL=65kN/m3，邊墻傳遞彎矩M=330kN·m。采用三角級數(shù)對底板內(nèi)力進(jìn)行計算，并與郭氏查表法及文克爾模型法計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

圖3 底板計算荷載示意圖（尺寸單位：m）

（1）地基反力沿底板橫向分布如圖4所示，三角級數(shù)法計算所得地基反力最大值138.12kN/m，出現(xiàn)在底板兩側(cè)端部，中部地基反力量值逐漸縮小，最小值71.37kN/m，出現(xiàn)在底板中部；郭氏查表法計算所得地基反力分布規(guī)律與三角級數(shù)法基本相同，最大值151.22kN/m出現(xiàn)在底板兩側(cè)端部；文克爾模型法計算所得地基反力量值沿底板橫向變化較小，最大值99.48kN/m；

圖4 地基反力圖

（2）底板剪力橫向分布如圖5所示，三角級數(shù)法計算所得底板剪力最大值111.072kN，出現(xiàn)在邊墻與底板銜接處，中部及趾板兩側(cè)剪力逐漸減小；郭氏查表法計算所得底板剪力分布規(guī)律與三角級數(shù)法基本相同，最大值103.93kN；文克爾模型法計算所得底板剪分布規(guī)律與前兩種方法基本相同，但量值略大，底板剪力最大值133.11kN；

圖5 底板剪力圖

（3）底板彎矩橫向分布如圖6所示，三角級數(shù)法計算所得底板正彎矩最大值312.34kN·m，出現(xiàn)在邊墻與底板銜接處內(nèi)側(cè)，邊墻與底板銜接處外側(cè)出現(xiàn)部分負(fù)彎矩，量值達(dá)到-13.65kN·m；郭氏查表法計算所得底板剪力分布規(guī)律與三角級數(shù)法基本相同，正彎矩最大值313.27kN·m，負(fù)彎矩最大值-16.73kN·m；文克爾模型法計算所得底板正彎矩最大值260.61kN·m，出現(xiàn)在在邊墻與底板銜接處右側(cè)，邊墻與底板銜接處左側(cè)出現(xiàn)部分負(fù)彎矩，量值達(dá)到-57.99kN·m，底板兩側(cè)邊墻銜接處內(nèi)側(cè)正彎矩逐漸減小，在中部位置出現(xiàn)部分負(fù)彎矩，量值為-13.42kN·m。

圖6 底板彎矩圖

3 結(jié)語

3.1 三角級數(shù)法更好的放映了地基的連續(xù)性，更復(fù)合實際情況的地基反力。

3.2 用三角級數(shù)法計算U型槽底板內(nèi)力的力學(xué)模型明確，參數(shù)較少，計算步驟簡潔，適合于工程計算和程序開發(fā)使用。

［1］楊維加.彈性地基梁的三角級數(shù)解法[M].北京：中國水利水電出版社,2005：19-75.

［2］李海光.新型支擋結(jié)構(gòu)設(shè)計與工程實例[M].2版北京：人民交通出版社,2011：431-452.

［3］崔滿.三角級數(shù)法模擬彈性地基梁內(nèi)力[J].山西建筑,2007,7(19)：96-97.

［4］趙冬嬌.封閉式路塹U型槽結(jié)構(gòu)的研究[D].吉林大學(xué),2010.