運用導數解決不等式問題的幾點思考

☉江蘇省震澤中學特級教師 郭建理

運用導數解決不等式問題的幾點思考

☉江蘇省震澤中學特級教師 郭建理

郭建理，現年42歲，本科學歷，曾榮獲：全國優秀教師、第八屆“蘇步青數學教育獎”、河南省特級教師、河南省名師，中學高級教師、河南省教育廳學術技術帶頭人、河南省骨干教師、駐馬店市名師、駐馬店市人民政府表彰的“新世紀學術技術帶頭人”等榮譽稱號.于2003—2010年任河南省上蔡縣第二高級中學教學副校長，現就職于江蘇省震澤中學.曾出版多部高中數學教輔著作，任主編、副主編，多篇論文在核心期刊及省級刊物上公開發表.教育箴言：數學使人健腦，數學使人明智，數學使人對世界充滿悟性.

近期接上級教育研究部門通知要在全市開展名師展示課活動，作為一名特級教師首當其沖，既要積極踴躍，又要率先垂范.課題定為“導數在不等式問題中的應用”，四個名師同時講授一節課，就是現在全國各地教研活動中比較與時俱進的“同題異構”，不一樣的名師，又如何呈現不一樣的精彩？筆者對這節名師展示課的幾個環節未雨綢繆，關鍵部分構思如下.

一、內容確定形勢化

學情分析：展示課開課之日高二年級已結束導數一章的教學，學生剛剛學習過導數的應用：導數在函數中的應用，導數在實際生活中的應用，又不等式一章的教學中學生對不等式有解、恒成立這類題型及其解決的思想方法較為熟悉；考情分析：縱觀近幾年的高考試題，全國二十幾套高考數學試卷對不等式方面的考查主要體現在以下三個方面：不等式的解法、不等式的應用、不等式的證明，而利用導數解決不等式問題已成為命題的熱點.那么運用導數解決不等式哪些問題？幾番輾轉反側，幾點靈感顯現：課型界定為復習課，既要體現不等式的主要問題，又要體現導數方法的運用，故授課內容確定為函數背景下的不等式有解、不等式恒成立求參數的取值范圍和不等式的證明問題.由于前兩個問題在不等式一章中，其解題思路學生已耳熟能詳，所以教學的重點放在不等式的證明上.

二、問題設計最優化

美籍匈牙利數學家、數學教育家喬治·波利亞在名著《怎樣解題》中對課堂上的例題的篩選持有這樣的指導性意見：如果老師把分配給他的時間都用來讓學生操練一些常規的運算，那么他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發展，相反地他用和學生知識相稱的題目來激起他們的好奇心并用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么就能培養學生獨立思考的興趣和習慣，并教給他們某些方法.導數在不等式問題中的應用這節課要培養和強化學生一種數學思想——等價轉化的思想，學習運用幾種數學方法：構造函數法、導數法、數形結合法、分離參數法等，因此本節復習課的載體——問題的設計要體現出最優化的特點：即問題要具有典型性（能體現通法通解）、層次性（有梯度，學生知識范圍內力所能及）、發散性（多角度思考，一題多解）、探究性（拓展研究，知識升華）、綜合性（知識交匯、融會貫通）.如解題教學中例題設置為：

例1已知函數f（x）=x3-ax2+10，在區間［1，2］內至少存在一個實數x，使得f（x）＜0成立，試求實數a的取值范圍.

例2已知函數f（x）=ax+ln x，g（x）=a2x2（a＞0），若f（x）≤g（x）對一切x都成立，試求實數a的取值范圍.

三、教學過程程序化

中學數學課堂教學中問題和問題的解決是教學的生長點，問題解決式的解題教學流程大致可分為以下幾個步驟：預熱（創設情境，循序漸進）——審題（獲取信息、整合信息）——分析（處理信息，尋求突破）——實施（依據算法，完善流程）——拓展（變式教學，聯想分析）——總結（歸納規律，提煉方法）.本節課開始設置了如下熱身訓練，練習1：不等式|x+1|-|x-2|≤a的解集非空，試求a的取值范圍；練習2：若不等式|x+1|-|x-2|≤a的解集為R，試求a的取值范圍.前者為不等式有解問題，后者為不等式恒成立問題，讓學生在預熱中回顧知識，在對比中感知數學.

四、教學方法多樣化

本節課是以解題教學為主線的復習課，解題中采用類比、對比、變式教學、一題多解、多題一解、總結、歸納、反思、自主探究等教學方法.

（1）熱身訓練中1和2的對比.練習1：a≥（|x+1|-|x-2|）min=-3，練習2：a≥（|x+1|-|x-2|）max=3，問題的形式雖差之毫厘，但解題思路卻大相徑庭.

（2）例1、例2的解題教學預設片段采擷.①題型的對比：例1為一個函數的“存在命題”問題，例2為兩個函數的“全稱命題”問題.②解決思路的對比：例1中（fx）＜0有解?（fx）min＜0，例2中（fx）≤g（x）恒成立?（fx）-g（x）≤0?［（fx）-g（x）］max≤0.③求解方法的對比：例1中分離參數得a＞x+，構造函數g（x）=x+，利用導數可求g（x）=g（2）=，則a＞；例2中直接構造函數h（x）=（fx）-ming（x），利用導數可求④反思和歸納總結：對例2在參數a無法分離的情況下若轉化為（fx）≤g（x）恒成立?（fx）max≤g（x）min，因為這里的x對（fx）、g（x）來說是統一的，所以這種轉化非等價轉化，導致誤入歧途而南轅北轍；對例1若利用導數法直接求（fx）min＜0，則將遇到多種討論，這里采用分離參數的方法化難為易、化繁為簡.對不等式有解、不等式恒成立求參數的取值范圍的問題，解決時首先運用等價轉化思想，通過構造函數的方法把不等式問題轉化為求函數最值的問題，然后用導數法求最值，有時要注意分離參數法在尋求突破口時的運用.

五、思路探究主體化

解題教學中思路的探究以學生為主體，面對新的問題，學生有點兒無所適從時，要創設適當的問題情境，喚醒學生已有的知識與新問題的聯系，引導學生找到問題的突破口，讓學生感到解決問題的金鑰匙掌握在自己手中，達到培養和提高學生分析問題、解決問題的能力.為提高課堂效率，教學簡案在開課前一天晚上下發，通過學生的預習演練，有利于課堂上師生互動，共同探討.

六、牛刀小試變式化

數學課堂教學是教師主導下的授之以漁的過程，學生初步掌握了漁的思想方法，若沒有可漁的場所，時間長了，則漁技不好使乃至漁技盡失，好像學習游泳只聽教練講解方法而不下水，一遭入水難免動作失靈而嘗夠苦水.所謂的牛刀小試變式化就是在落實講練結合時，所選問題的練習強化方向，要體現出課堂教學的生長點，亦即課堂例題的變式訓練，通過及時適度的針對練習，以鞏固強化課堂教學所得，從而練中有所悟，利于知識的拓展升華.數學教育家波利亞曾形象的指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”數學課堂通過變式教學，不但使學生能舉一反三，而且能使教學結構發生質的變化，使學生成為創造的主人.