挖掘例題內(nèi)在條件，加強習題變式訓練

☉江蘇省灌南高級中學 高 嬌

挖掘例題內(nèi)在條件，加強習題變式訓練

☉江蘇省灌南高級中學 高 嬌

數(shù)學解題猶如攻克堡壘，強攻難下，不如智取，巧妙迂回，避實就虛，常常可以收到令人意想不到的效果.要靈活運用迂回策略求解數(shù)學問題，關(guān)鍵是挖掘題目的內(nèi)在條件，開拓解題的思路，并合理運用變式訓練，只有這樣才能進行有效學習，幫助我們擺脫解題的困境，提高解題的能力.

例1 已知適合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3，求實數(shù)p的值.

分析：若采用常規(guī)解法，要先求出各個絕對值的“零根點”，再進行討論來去掉各個絕對值符號，這樣的解題過程非常煩瑣.若仔細地觀察分析題設(shè)條件，認真挖掘，將最大值為3換成不等式x≤3來表示，則問題立即得到簡化.

解：由于x≤3，則原不等式可簡化為：

令f（x）=x2-5x+p-2，由xmax=3與數(shù)形結(jié)合的思想，得f（3）=0，代入解得p=8.

變式：（1）假定此例的條件不變，則該不等式的解集是_____.

（2） 若適合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最小值為-2，則實數(shù)p=______.

（3）是否存在實數(shù)p，使適合不等式|x2+2x+p|-|x-3|≥4的x的最大值為5？若存在，請求出實數(shù)p的值及此時該不等式的解集.

例2 過原點的雙曲線有一個焦點為F（4，0），實軸長為2，求雙曲線中心的軌跡方程.

分析：直奔終點，去求雙曲線中心的軌跡方程，很難成功，不妨進一步挖掘題目的內(nèi)在條件，迂回一下，先求另一焦點F′的軌跡方程，再以F′的軌跡為橋梁，實現(xiàn)解題的目標.

解：設(shè)雙曲線另一焦點為F′（x′，y′）.

分析：直接由題設(shè)條件去求復數(shù)z的模與輻角主值的取值范圍，很難下手，挖掘題目的內(nèi)在條件，繞開這一難點，退一步思考，先求出復數(shù)z在復平面上對應的點的軌跡，借助圖形，問題即可迎刃而解.

在變式訓練時，要特別注意的是：從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，這樣可以幫助大家將所學的知識點融會貫通，從而讓同學們在無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學的魅力，體會學習數(shù)學的樂趣.當然，這些都要在深入挖掘題目的內(nèi)在條件的前提下才有可能做到.