在非慣性系中研究動力剛化問題

梁立孚，王鵬，宋海燕

(1.哈爾濱工程大學 力學一級學科博士點，黑龍江哈爾濱150001;2.上海大學應用數學與力學研究所，上海200444)

文獻［1］指出，1987 年 Kane［2］對大范圍剛體運動槽型彈性梁進行了研究，指出在大范圍剛體運動作高速旋轉時，零次耦合建模方法得到彈性梁的變形將無限增大的結果，與實際情況相反.為此，Kane對彈性梁的變形作了比較精確的描述(包括了彎曲變形、剪切變形和扭曲變形)，首次提出動力剛化(dynamic stiffening)的概念.這一問題的提出，引起了各國學者的普遍關注.1989年，Banerjee和Kane［3］又對作大范圍剛體運動的彈性薄板進行了研究.Haering［4］，Padilla［5］采用類似方法對彈性梁動力學性質進行了分析.所得到的結果表明，人們在關于柔性多體系統動力學耦合機理的認識上有待深入，對所描述對象數學模型的準確性有待進一步研究.

為了適應我國航天事業發展的需要，我國學者也對這一問題進行了廣泛的、深入的研究［6-12］.

以上研究，多數是數值的、定量的分析方法，少數學者進行解析的分析討論.正確的進行解析分析對于深刻把握動力剛化的力學實質、建立正確的數值計算模型是有利的.因此，有必要繼續研究下去.

在文獻［1，12］中，通過一個典型的實例進行研究，本文在其基礎上，應用非慣性坐標系中的力學問題的理論來研究動力剛化問題，給出兩類研究動力剛化問題的計算模型，得到具有明確物理意義的研究結果.從物理和數學方面說明了產生零級耦合建模的不合理現象的原因，并且建議了合理的處理方法，以便避免零級耦合建模中可能發生不合理現象.這樣處理動力剛化問題，表現出與其他學者的研究有實質性的差異.

1 在非慣性系中典型實例研究

設有如圖1所示的力學系統，2根無質量桿AB和BC在B點用鉸鏈連接，在鉸鏈處有一個剛度系數為k的扭簧.長度為R的桿AB的另一端固定在鉸鏈A上，并且繞A點以角速度ω(t)在平面中轉動.長度為L的桿BC的另一端固定著質量塊m.桿AB和BC之間的相對轉角為θ(t)，并且在系統的運動過程中，θ(t)可以為有限量，也可以為小量，其初始值為0.

圖1 非慣性坐標系Fig.1 Non-inertial coordinate system

建立固連于桿AB的連體坐標系Bb1b2(如圖1)，由于桿的轉動，使得該坐標系成為非慣性坐標系.在這個非慣性坐標系中，如前所述θ(t)可以為有限量，也可以為小量.通過運動分析，可得系統的動能為

作用在系統上的力矩，除了彈性力矩kθ外，還有慣性力矩.在轉角θ(t)為有限量假設的情況下，離心慣性力fcf為

引起的力矩為

切向慣性力ft為

引起的力矩為

其外力勢能為

在建立動能和勢能的表達式時，應當注意:以角速度ω轉動的轉動中心是A點，該點與質量m的距離為，以角速度轉動的轉動中心是B點，該點與質量m的距離為L.

根據廣義協變原理，在非慣性坐標系中，只要合理引入慣性力，就可以將相關力學定律表示為與在慣性系中類似的形式［13-15］，因此Lagrange方程可以表示為

將動能的表達式和勢能的表達式代入Lagrange方程的各項，并且推導如下:

將推導結果代入Lagrange方程，可得

整理可得

這里順便指出，方程式(13)是以角位移θ為基本變量的動力學方程.mL2為動力學項，kθ為扭簧引起的力矩，mω2RLsinθ為離心慣性力引起的力矩，m(Rcosθ+L)為切向慣性力引起的力矩.

2 進一步典型實例研究

建立固連于桿AB的連體坐標系Bb1b2(圖1)，由于桿的轉動，使得該坐標系成為非慣性坐標系.在這個非慣性坐標系中，假設θ(t)始終為小角，使得sinθ≈θ，cosθ≈1.通過運動分析，可得系統的動能為

作用在系統上的力矩，除了彈性力矩kθ外，還有慣性力矩.在θ(t)始終為小角假設的情況下，離心慣性力的計算公式為

引起的力矩為

切向慣性力的計算公式為

引起的力矩為

其外力勢能為

針對應用型本科院校學生的網絡課程資源更需要其豐富多樣、知識準確、信息多樣、動手指導、習題講解等，能及時解決學生提出的問題，而且在更新、與學生互動或者回答問題、在線指導等環節上應該提高效率，提高時效性。

在建立動能和勢能的表達式時，應當注意:以角速度ω轉動的轉動中心是A點，該點與質量m的距離為(R+L)，以角速度轉動的轉動中心是B點，該點與質量m的距離為L.

根據廣義協變原理，在非慣性坐標系中，只要合理引入慣性力，就可以將相關力學定律表示為與在慣性系中類似的形式［13-15］，因此Lagrange方程可以表示為

將動能的表達式和勢能的表達式代入Lagrange方程的各項，并且推導如下:

將推導結果代入Lagrange方程，可得

進而可得

動力剛度項

式(26)明確顯示，在這個典型實例中，引起動力剛化的原因是離心慣性力的影響.

這里順便指出，方程式(25)是以角位移為基本變量的動力學方程.mL2為動力學項，kθ為扭簧引起的力矩，mω2RLθ為離心慣性力引起的力矩，m(R+L)為切向慣性力引起的力矩.

3 典型實例的另一類計算模型研究

建立固連于桿AB的連體坐標系Bb1b2(圖2)，由于桿的轉動，使得該坐標系成為非慣性坐標系.在這個非慣性坐標系中，假設θ(t)始終為小角，使得sinθ≈θ，cosθ≈1 .通過運動分析，可以得系統的動能為

圖2 θ(t)始終為小角Fig.2 θ(t)always small angle

作用在系統上的力矩，除了彈性力矩kθ外，還有慣性力矩.在θ(t)始終為小角假設的情況下，離心慣性力的計算公式為

引起的力矩為

將離心慣性力作為主動力引起的附加勢能為

這一結果與文獻［12］給出的結果相同.

切向慣性力的計算公式為

引起的力矩為

將切向慣性力作為主動力引起的附加勢能為

系統的總外力勢能為

在建立動能和勢能的表達式時，應當注意:以角速度ω轉動的轉動中心是A點，該點與質量m的距離為(R+L)，以角速度轉動的轉動中心是B點，該點與質量m的距離為L.

根據廣義協變原理，在非慣性坐標系中，只要合理引入慣性力，就可以將相關力學定律表示為與在慣性系中類似的形式，因此Lagrange方程可表示為

將動能的表達式和勢能的表達式代入Lagrange方程的各項，并且推導如下:

將推導結果代入Lagrange方程，可得

進而可得

動力剛度項為

式(42)明確顯示，在這個典型實例中，引起動力剛化的原因是離心慣性力的影響.

這里順便指出，方程式(41)是以角位移為基本變量的動力學方程.mL2為動力學項，kθ為扭簧引起的力矩，mω2(R+L)Lθ為離心慣性力引起的力矩，m(R+L)為切向慣性力引起的力矩.

4 討論零級建模

如果在應用Lagrange方程之前，對勢能函數應用泰勒展開并且取一級近似，可得

可見，將使得離心慣性力引起的外力勢能消失.這從物理方面說明了所謂零級建模不可行的原因.

正弦函數和余弦函數的泰勒展開為

如果在應用Lagrange方程之前，對勢能函數應用泰勒展開.以往的簡化是將正弦函數和余弦函數的泰勒展開都取一級近似.考慮到正弦函數的泰勒級數收斂較快，余弦函數的泰勒級數的收斂較慢，因而取正弦函數的泰勒展開的一級近似，取余弦函數的泰勒展開的二次近似，可得勢能的表達式:

可見，式(46)與式(18)相同，這也可以從一個側面說明這樣處理問題的正確性.

將勢能的表達式代入Lagrange方程的有關勢能的項，并且推導如下:

動能的表達式及其相關推導同前.

將推導結果代入Lagrange方程，可得

整理可得

可見，在應用Lagrange方程之前簡化，只要合理進行近似計算，也可以得到合理的建模.

具體問題具體分析對于科技工作者來說是至關重要的.研究表明，考慮動力剛化的柔體動力學的建模問題，內容豐富，可以分門別類的進行研究.

5 結束語

本文是在非慣性坐標系中研究動力剛化問題.首先，給出在非慣性坐標系中研究動力剛化典型實例的一類力學模型，應用有限位移理論研究動力剛化問題的典型實例，得到具有明確物理意義的結果.將這類研究退化到小位移理論，表明所謂零次耦合建模方法也是可行的.然后，給出在非慣性坐標系中研究動力剛化典型實例的另一類力學模型.最后，進一步討論了如何正確地進行所謂零次耦合建模的問題.

［1］洪嘉振，蔣麗忠.動力剛化與多體系統剛-柔耦合動力學［J］.計算力學學報，1999，16(3):295-301.HONG Jiazhen，JIANG Lizhong.Dynamic stiffening and multibody dynamics with coupled rigid and deformation motions［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，1999，16(3):295-301.

［2］KANE T R，RYAN R R，BANER J A K，Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，1987，10(2):139-151.

［3］BANERJEE A K，KANE T R.Multi-flexible body dynamics capturing movtion-induced stiffnes［J］.Journal of Applied Mechanics，1989，56:887-892.

［4］HAERING W J，RYAN R R，SCOTT A.New formulation for flexible beams undergoing large overall plane motion［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1994，17(1):76-83.

［5］PADILLA C E，VON FLOTOW A H.Nonlinear strain displacement relations and flexible multibody dynamics［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1992，15(1):128-136.

［6］孔向東，鐘萬勰，齊朝暉.計及動力剛化項的柔性機械臂幾何非線性模型［J］.機械科學與技術，1998，17(5):722-724.KONG Xiangdong，ZHONG Wanxie，QI Chaohui.Geometric nonlinear model of flexible manipulators in consideration of dynamic stiffening terms［J］.Mechanical Science and Technology，1998，17(5):722-724.

［7］金在權，權成七，劉龍哲.彈性旋轉梁的動力剛化效應［J］.延邊大學學報，2000，26(2):116-118.JIN Zaiquan，QUAN Chengqi，LIU Longzhe.The stiffening effect of the centrifugal force［J］.Journal of Yanbian University，2000，26(2):116-118.

［8］楊輝，洪嘉振，余征躍.動力剛化問題的實驗研究［J］.力學學報，2004，36(1):119-124.YANG Hui，HONG Jiazhen，YU Zhengyue.Experimental investigation on dynamic stiffening phenomenon［J］.Acta Mechanica Sinica，2004，36(1):119-124.

［9］蔣建平，李東旭.大范圍運動矩形板動力剛化分析［J］.動力學與控制，2005，3(1):10-14.JIANG Jianping，LI Dongxu.Dynamic analysis of rectangular plate undergoing overall motion［J］.Journal of Dynamics and Control，2005，3(1):10-14.

［10］金國光，劉又五，王樹新，等.含動力剛化項的一般多柔體系統動力學研究［J］.哈爾濱工業大學學報，2005，37(1):101-103.JIN Guoguang，LIU Youwu，WANG Shuxin，et al.Generally flexible multi-body system dynamics in consideration of dynamic stiffening terms［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2005，37(1):101-103.

［11］章定國，朱志遠.一類剛柔耦合系統的動力剛化分析［J］.南京理工大學學報，2006，30(1):21-25.ZHANG Dingguo，ZHU Zhiyuan.Dynamic stiffening of rigid-flexible coupling system［J］.Journal of Nanjing University of Science and Technology，2006，30(1):21-25.

［12］李東旭.撓性航天器結構動力學［M］.北京:科學出版社，2010:285-286.

［13］愛因斯坦.相對論的意義［M］.郝建綱，劉道軍 譯.上海:科技教育出版社，2005:36-51.

［14］邱吉寶，向樹紅，張正平.計算結構動力學［M］.合肥:中國科學技術大學出版社，2009:455-463.

［15］梁立孚，劉石泉，王振清，等.飛行器結構動力學中的幾個問題［M］.西安:西北工業大學出版社等五社聯合出版，2010:158-172.