采用ES測度風險時的金融資產(chǎn)定價模型

張一喆，安實，徐照宇

(哈爾濱工業(yè)大學管理學院，黑龍江哈爾濱150001)

金融資產(chǎn)定價理論是金融學最重要的研究主題之一，其主要目的是解釋不確定條件下的金融資產(chǎn)價格或價值.換句話說，金融資產(chǎn)定價理論所研究的是投資者愿意為一項未來可以提供不確定收益的金融資產(chǎn)支付什么樣的價格.投資者的決策實際是在考慮金融資產(chǎn)未來收益的隨機分布特征并且權衡風險與收益的基礎上作出的.因此，金融資產(chǎn)定價的研究起點應當是對風險進行研究.

在已有的相關研究中，在Markowitz的投資組合理論基礎之上提出的CAPM模型是金融資產(chǎn)定價理論中最為經(jīng)典的定價模型之一.依據(jù)類似的定價模型推倒思路，姚京(2009)等［1］人以新的風險度量方法VaR代替?zhèn)鹘y(tǒng)的方差度量方法，給出了基于VaR的資產(chǎn)定價模型.進一步地，Wei Huang等［2］(2012)指出VaR在一定程度上可以解釋極端下方風險溢價.而Jared等［3］(2011)則對資產(chǎn)均衡收益和市場波動之間地非對稱關系進行了研究.Robert［4］(2011)的研究表明，資產(chǎn)收益分布的負偏度會增加下方風險，進而影響到資產(chǎn)均衡收益.Alexandros等［5］(2012)則對基于高階矩的資產(chǎn)定價模型進行了相關研究，這一定價模型包含了資產(chǎn)收益分布的偏度作為定價因子，同樣反映了投資者對于資產(chǎn)收益分布的非對稱偏好.Seung［6］(2012)則在總結已有研究的基礎上，給出了一個一般性的資產(chǎn)定價模型研究框架.

采用上述的方差、VaR、ES等方法測度風險時，通常假定對任何數(shù)量的資產(chǎn)進行交易都不會對價格產(chǎn)生影響，然而，現(xiàn)實中的市場并非不存在摩擦，如果一項資產(chǎn)的流動性較差，那么資產(chǎn)這一較差的流動性屬性對于其持有者來說是一種風險.鑒于此，Watanabe(2008)［7］、Asparouhova(2010)［8］、Lee(2011)［9］等研究了流動性及相關的風險因子對資產(chǎn)收益的影響.而Keith等［10］(2011)的實證研究則表明資產(chǎn)的流動性對其均衡收益會產(chǎn)生不可忽視的影響.

對于風險測度的具體方法及應用來說，相關研究主要沿著2個方向發(fā)展:1)不斷完善風險測度方法，以使其更加符合行為主體的真實心理感受;2)在傳統(tǒng)的市場風險基礎上增加流動性風險等其他風險類別的考慮，使得風險測度結果更為全面.金融資產(chǎn)定價的相關研究也隨著風險測度方法的完善而得以不斷的發(fā)展，與風險測度的研究發(fā)展類似，資產(chǎn)定價相關研究也日益增加了對行為主體主觀心理感受的考慮，與此同時也逐漸將流動性及相應的風險納入到研究范疇之中.

本文將主要考慮基于ES風險測度方法來構建金融資產(chǎn)定價模型，進一步將流動性因素引入到金融資產(chǎn)定價中，實現(xiàn)基于ES的金融資產(chǎn)定價模型的流動性擴展，從而來研究流動性風險、價格風險和資產(chǎn)收益之間的關系.

1 推導資產(chǎn)定價模型的基本假設

本文推導資產(chǎn)定價模型的基本假設如下:

1)影響投資決策的主要因素為期望收益率和風險兩項.

2)同一風險水平下，投資者選擇收益率較高的資產(chǎn);同一收益率水平下，選擇風險較低的資產(chǎn).

3)投資者能夠以固定利率r0無限制地借入或貸出資金.

4)所有投資者是同質(zhì)的，且具有相同的投資期限.

5)所有的證券投資可以無限制的細分.

6)不存在通貨膨脹，且折現(xiàn)率不變.

7)投資者可以對資產(chǎn)進行賣空操作.

2 金融資產(chǎn)定價模型的推導

2.1 基本定理

記Fx(·)和fx(·)分別為變量x的分布函數(shù)和概率密度函數(shù).qs(x)=inf{X|Prob(x≤X)≥s}.

在事件A發(fā)生的情況下，變量x的條件分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)記為Fx(·|A)和fx(·|A).

在推導資產(chǎn)定價模型之前，需要證明如下定理.

證明 根據(jù)定義有

容易證明

在上述兩式的基礎上可得

同時，有下式成立:

此外，由于

所以，

進一步可得

定理1證畢.

定理1反映了以ES測度金融資產(chǎn)(組合)的風險時，構成金融資產(chǎn)(組合)的各分量對于總體風險的影響方式，定理1中的結論是本文后續(xù)研究中推導金融資產(chǎn)定價模型重要理論基礎.

2.2 不考慮流動性的金融資產(chǎn)定價模型推導

以下推導不考慮流動性風險的資產(chǎn)定價模型.

考慮一個含有N+1種資產(chǎn)的投資組合P，記組合中每種資產(chǎn)的收益為x0、x1、…、xN，每種資產(chǎn)的比重為w0、w1、…、wN，此時在給定期望收益~μ的情況下，以風險最小化為目標的投資組合優(yōu)化模型如下:

由于

這樣問題式(1)就等價于

在此基礎上，則有定理2.

定理2 若某種具有既定收益資產(chǎn)的收益為r0(為了便于敘述，以下也用r0表示該種資產(chǎn))，則對于優(yōu)化問題式(1)或(2)來說，其最優(yōu)解對應的投資組合總可以表示為某個固定的資產(chǎn)組合和資產(chǎn)r0的線性組合.

證明 考慮如下的優(yōu)化問題:

即

同時，

同時將對應的投資組合記為PM，其收益為xM.很明顯地，對于優(yōu)化問題式(1)或(2)來說，其最優(yōu)解都可以通過PM和r0的線性組合來表示.

定理2證畢.

進一步可以構造問題式(2)的拉格朗日函數(shù):

將式(5)對應的所有等式兩邊乘以并求和，并結合定理1，可得

容易證明

并且

所以式(6)又可以寫成

此時，聯(lián)立式(5)和(7)，消去γ可得

式中:

式(8)～(10)即本文給出的基于ES的資產(chǎn)定價模型基本形式.

2.3 金融資產(chǎn)定價模型的流動性擴展

在不考慮流動性風險時，市場風險與金融資產(chǎn)均衡收益的關系可以通過式(8)得以反映.但在一般情況下，金融市場往往是存在摩擦的，此時資產(chǎn)的總風險主要由市場風險和流動性風險構成.市場風險對應于資產(chǎn)的價格波動，而流動性風險則對應于資產(chǎn)的流動性大小.投資者的資產(chǎn)頭寸超過一定數(shù)量時，由于市場流動性不足，投資者本身的交易行為也會對資產(chǎn)價格產(chǎn)生不利影響，帶來價格沖擊成本.金融市場流動性風險產(chǎn)生的根源在于金融市場的不完全性，主要表現(xiàn)為金融資產(chǎn)流動性的不足.在資產(chǎn)變現(xiàn)過程中產(chǎn)生的交易成本可以看作是流動性風險的直接體現(xiàn).當投資者進行資產(chǎn)交易時的總體交易風險可以分為2個部分:

1)由于資產(chǎn)價格波動導致的市場風險;

2)流動性不足導致的流動性風險.

不考慮流動性對應風險時，可以直接通過ES進行風險的測度，在此基礎上，如果進一步考慮資產(chǎn)的流動性對于總體風險的影響，則可以通過交易成本的形式將金融資產(chǎn)流動性對應的進入市場風險測度方法中，進而得出流動性調(diào)整的ES風險測度方法.Amihud(2002)［11］提出了流動性綜合度量指標:

式中:ILLIQ反映金融資產(chǎn)的交易成本或流動性水平，R為金融資產(chǎn)的收益率，V為金融資產(chǎn)的交易量.

根據(jù)Amihud提出的流動性度量方法，ILLIQ的值越大，則金融資產(chǎn)的流動性水平越低，反之亦然，所以Amihud提出的流動性度量指標也被稱為弱流動性或非流動性(illiquidity).在Amihud看來，他所提出的弱流動性度量其實反映了與流動性對應的交易成本的大小，流動性越好，交易成本越低，反之則交易成本越高.

進一步地，如果資產(chǎn)總體風險中不僅包含市場風險因子，還包括流動性風險因子，則資產(chǎn)的真實收益率可以表示為r-ILLIQ，其中，r為資產(chǎn)在市場中的名義收益率.對于給定的資產(chǎn)j，在本文中，r-ILLIQ中的r對應于xj，而ILLIQ則對應于cj，此時將xj-cj代入到式(8)～(10)，即可得出式(8)的擴展形式:

式中:

β和λ對應于市場風險定價因子和市場風險的風險溢價，βc和λc對應于流動性風險定價因子和流動性風險的風險溢價，而βcr和λcr則反映了前2種風險之間的交互作用對資產(chǎn)均衡收益的影響.

3 結束語

為了使資產(chǎn)定價模型中的風險因子能夠更加合理地反映投資者的真實風險感受，同時包含更為全面的影響資產(chǎn)均衡收益的定價因素，本文首先以ES風險測度為基礎構建投資組合優(yōu)化模型，進而通過求解該模型推導出相應的資產(chǎn)定價模型，此時資產(chǎn)定價模型中的定價因子能夠更好地反映投資者對于資產(chǎn)收益不同分布的不同風險偏好.進一步地，本文對ES風險測度方法進行了流動性擴展，并給出了包含流動性風險因子的資產(chǎn)定價模型，使定價模型充分反映投資者風險偏好的同時，包也含了更多的定價風險因子.從最終得出的金融資產(chǎn)定價模型的形式來看，影響資產(chǎn)均衡收益的因素主要包括資產(chǎn)的市場風險、資產(chǎn)的流動性風險，同時這2種風險之間的交互關系也對資產(chǎn)的均衡收益存在一定影響.在后續(xù)研究中，將著重結合實際數(shù)據(jù)對本文給出的金融資產(chǎn)定價模型進行實證分析，進一步研究模型中各風險因子對于資產(chǎn)均衡收益的具體影響.

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