采用ES測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的金融資產(chǎn)定價(jià)模型

張一喆，安實(shí)，徐照宇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

金融資產(chǎn)定價(jià)理論是金融學(xué)最重要的研究主題之一，其主要目的是解釋不確定條件下的金融資產(chǎn)價(jià)格或價(jià)值.換句話(huà)說(shuō)，金融資產(chǎn)定價(jià)理論所研究的是投資者愿意為一項(xiàng)未來(lái)可以提供不確定收益的金融資產(chǎn)支付什么樣的價(jià)格.投資者的決策實(shí)際是在考慮金融資產(chǎn)未來(lái)收益的隨機(jī)分布特征并且權(quán)衡風(fēng)險(xiǎn)與收益的基礎(chǔ)上作出的.因此，金融資產(chǎn)定價(jià)的研究起點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行研究.

在已有的相關(guān)研究中，在Markowitz的投資組合理論基礎(chǔ)之上提出的CAPM模型是金融資產(chǎn)定價(jià)理論中最為經(jīng)典的定價(jià)模型之一.依據(jù)類(lèi)似的定價(jià)模型推倒思路，姚京(2009)等［1］人以新的風(fēng)險(xiǎn)度量方法VaR代替?zhèn)鹘y(tǒng)的方差度量方法，給出了基于VaR的資產(chǎn)定價(jià)模型.進(jìn)一步地，Wei Huang等［2］(2012)指出VaR在一定程度上可以解釋極端下方風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià).而Jared等［3］(2011)則對(duì)資產(chǎn)均衡收益和市場(chǎng)波動(dòng)之間地非對(duì)稱(chēng)關(guān)系進(jìn)行了研究.Robert［4］(2011)的研究表明，資產(chǎn)收益分布的負(fù)偏度會(huì)增加下方風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而影響到資產(chǎn)均衡收益.Alexandros等［5］(2012)則對(duì)基于高階矩的資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)行了相關(guān)研究，這一定價(jià)模型包含了資產(chǎn)收益分布的偏度作為定價(jià)因子，同樣反映了投資者對(duì)于資產(chǎn)收益分布的非對(duì)稱(chēng)偏好.Seung［6］(2012)則在總結(jié)已有研究的基礎(chǔ)上，給出了一個(gè)一般性的資產(chǎn)定價(jià)模型研究框架.

采用上述的方差、VaR、ES等方法測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，通常假定對(duì)任何數(shù)量的資產(chǎn)進(jìn)行交易都不會(huì)對(duì)價(jià)格產(chǎn)生影響，然而，現(xiàn)實(shí)中的市場(chǎng)并非不存在摩擦，如果一項(xiàng)資產(chǎn)的流動(dòng)性較差，那么資產(chǎn)這一較差的流動(dòng)性屬性對(duì)于其持有者來(lái)說(shuō)是一種風(fēng)險(xiǎn).鑒于此，Watanabe(2008)［7］、Asparouhova(2010)［8］、Lee(2011)［9］等研究了流動(dòng)性及相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)因子對(duì)資產(chǎn)收益的影響.而Keith等［10］(2011)的實(shí)證研究則表明資產(chǎn)的流動(dòng)性對(duì)其均衡收益會(huì)產(chǎn)生不可忽視的影響.

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的具體方法及應(yīng)用來(lái)說(shuō)，相關(guān)研究主要沿著2個(gè)方向發(fā)展:1)不斷完善風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法，以使其更加符合行為主體的真實(shí)心理感受;2)在傳統(tǒng)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)上增加流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)等其他風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別的考慮，使得風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度結(jié)果更為全面.金融資產(chǎn)定價(jià)的相關(guān)研究也隨著風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法的完善而得以不斷的發(fā)展，與風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的研究發(fā)展類(lèi)似，資產(chǎn)定價(jià)相關(guān)研究也日益增加了對(duì)行為主體主觀(guān)心理感受的考慮，與此同時(shí)也逐漸將流動(dòng)性及相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)納入到研究范疇之中.

本文將主要考慮基于ES風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法來(lái)構(gòu)建金融資產(chǎn)定價(jià)模型，進(jìn)一步將流動(dòng)性因素引入到金融資產(chǎn)定價(jià)中，實(shí)現(xiàn)基于ES的金融資產(chǎn)定價(jià)模型的流動(dòng)性擴(kuò)展，從而來(lái)研究流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)、價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)和資產(chǎn)收益之間的關(guān)系.

1 推導(dǎo)資產(chǎn)定價(jià)模型的基本假設(shè)

本文推導(dǎo)資產(chǎn)定價(jià)模型的基本假設(shè)如下:

1)影響投資決策的主要因素為期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)兩項(xiàng).

2)同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，投資者選擇收益率較高的資產(chǎn);同一收益率水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的資產(chǎn).

3)投資者能夠以固定利率r0無(wú)限制地借入或貸出資金.

4)所有投資者是同質(zhì)的，且具有相同的投資期限.

5)所有的證券投資可以無(wú)限制的細(xì)分.

6)不存在通貨膨脹，且折現(xiàn)率不變.

7)投資者可以對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行賣(mài)空操作.

2 金融資產(chǎn)定價(jià)模型的推導(dǎo)

2.1 基本定理

記Fx(·)和fx(·)分別為變量x的分布函數(shù)和概率密度函數(shù).qs(x)=inf{X|Prob(x≤X)≥s}.

在事件A發(fā)生的情況下，變量x的條件分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)記為Fx(·|A)和fx(·|A).

在推導(dǎo)資產(chǎn)定價(jià)模型之前，需要證明如下定理.

證明 根據(jù)定義有

容易證明

在上述兩式的基礎(chǔ)上可得

同時(shí)，有下式成立:

此外，由于

所以，

進(jìn)一步可得

定理1證畢.

定理1反映了以ES測(cè)度金融資產(chǎn)(組合)的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，構(gòu)成金融資產(chǎn)(組合)的各分量對(duì)于總體風(fēng)險(xiǎn)的影響方式，定理1中的結(jié)論是本文后續(xù)研究中推導(dǎo)金融資產(chǎn)定價(jià)模型重要理論基礎(chǔ).

2.2 不考慮流動(dòng)性的金融資產(chǎn)定價(jià)模型推導(dǎo)

以下推導(dǎo)不考慮流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)定價(jià)模型.

考慮一個(gè)含有N+1種資產(chǎn)的投資組合P，記組合中每種資產(chǎn)的收益為x0、x1、…、xN，每種資產(chǎn)的比重為w0、w1、…、wN，此時(shí)在給定期望收益~μ的情況下，以風(fēng)險(xiǎn)最小化為目標(biāo)的投資組合優(yōu)化模型如下:

由于

這樣問(wèn)題式(1)就等價(jià)于

在此基礎(chǔ)上，則有定理2.

定理2 若某種具有既定收益資產(chǎn)的收益為r0(為了便于敘述，以下也用r0表示該種資產(chǎn))，則對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題式(1)或(2)來(lái)說(shuō)，其最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的投資組合總可以表示為某個(gè)固定的資產(chǎn)組合和資產(chǎn)r0的線(xiàn)性組合.

證明 考慮如下的優(yōu)化問(wèn)題:

即

同時(shí)，

同時(shí)將對(duì)應(yīng)的投資組合記為PM，其收益為xM.很明顯地，對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題式(1)或(2)來(lái)說(shuō)，其最優(yōu)解都可以通過(guò)PM和r0的線(xiàn)性組合來(lái)表示.

定理2證畢.

進(jìn)一步可以構(gòu)造問(wèn)題式(2)的拉格朗日函數(shù):

將式(5)對(duì)應(yīng)的所有等式兩邊乘以并求和，并結(jié)合定理1，可得

容易證明

并且

所以式(6)又可以寫(xiě)成

此時(shí)，聯(lián)立式(5)和(7)，消去γ可得

式中:

式(8)～(10)即本文給出的基于ES的資產(chǎn)定價(jià)模型基本形式.

2.3 金融資產(chǎn)定價(jià)模型的流動(dòng)性擴(kuò)展

在不考慮流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)與金融資產(chǎn)均衡收益的關(guān)系可以通過(guò)式(8)得以反映.但在一般情況下，金融市場(chǎng)往往是存在摩擦的，此時(shí)資產(chǎn)的總風(fēng)險(xiǎn)主要由市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成.市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)應(yīng)于資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)，而流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)則對(duì)應(yīng)于資產(chǎn)的流動(dòng)性大小.投資者的資產(chǎn)頭寸超過(guò)一定數(shù)量時(shí)，由于市場(chǎng)流動(dòng)性不足，投資者本身的交易行為也會(huì)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格產(chǎn)生不利影響，帶來(lái)價(jià)格沖擊成本.金融市場(chǎng)流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生的根源在于金融市場(chǎng)的不完全性，主要表現(xiàn)為金融資產(chǎn)流動(dòng)性的不足.在資產(chǎn)變現(xiàn)過(guò)程中產(chǎn)生的交易成本可以看作是流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的直接體現(xiàn).當(dāng)投資者進(jìn)行資產(chǎn)交易時(shí)的總體交易風(fēng)險(xiǎn)可以分為2個(gè)部分:

1)由于資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)導(dǎo)致的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn);

2)流動(dòng)性不足導(dǎo)致的流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn).

不考慮流動(dòng)性對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，可以直接通過(guò)ES進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度，在此基礎(chǔ)上，如果進(jìn)一步考慮資產(chǎn)的流動(dòng)性對(duì)于總體風(fēng)險(xiǎn)的影響，則可以通過(guò)交易成本的形式將金融資產(chǎn)流動(dòng)性對(duì)應(yīng)的進(jìn)入市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法中，進(jìn)而得出流動(dòng)性調(diào)整的ES風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法.Amihud(2002)［11］提出了流動(dòng)性綜合度量指標(biāo):

式中:ILLIQ反映金融資產(chǎn)的交易成本或流動(dòng)性水平，R為金融資產(chǎn)的收益率，V為金融資產(chǎn)的交易量.

根據(jù)Amihud提出的流動(dòng)性度量方法，ILLIQ的值越大，則金融資產(chǎn)的流動(dòng)性水平越低，反之亦然，所以Amihud提出的流動(dòng)性度量指標(biāo)也被稱(chēng)為弱流動(dòng)性或非流動(dòng)性(illiquidity).在Amihud看來(lái)，他所提出的弱流動(dòng)性度量其實(shí)反映了與流動(dòng)性對(duì)應(yīng)的交易成本的大小，流動(dòng)性越好，交易成本越低，反之則交易成本越高.

進(jìn)一步地，如果資產(chǎn)總體風(fēng)險(xiǎn)中不僅包含市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因子，還包括流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)因子，則資產(chǎn)的真實(shí)收益率可以表示為r-ILLIQ，其中，r為資產(chǎn)在市場(chǎng)中的名義收益率.對(duì)于給定的資產(chǎn)j，在本文中，r-ILLIQ中的r對(duì)應(yīng)于xj，而ILLIQ則對(duì)應(yīng)于cj，此時(shí)將xj-cj代入到式(8)～(10)，即可得出式(8)的擴(kuò)展形式:

式中:

β和λ對(duì)應(yīng)于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)因子和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，βc和λc對(duì)應(yīng)于流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)因子和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，而βcr和λcr則反映了前2種風(fēng)險(xiǎn)之間的交互作用對(duì)資產(chǎn)均衡收益的影響.

3 結(jié)束語(yǔ)

為了使資產(chǎn)定價(jià)模型中的風(fēng)險(xiǎn)因子能夠更加合理地反映投資者的真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)感受，同時(shí)包含更為全面的影響資產(chǎn)均衡收益的定價(jià)因素，本文首先以ES風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度為基礎(chǔ)構(gòu)建投資組合優(yōu)化模型，進(jìn)而通過(guò)求解該模型推導(dǎo)出相應(yīng)的資產(chǎn)定價(jià)模型，此時(shí)資產(chǎn)定價(jià)模型中的定價(jià)因子能夠更好地反映投資者對(duì)于資產(chǎn)收益不同分布的不同風(fēng)險(xiǎn)偏好.進(jìn)一步地，本文對(duì)ES風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法進(jìn)行了流動(dòng)性擴(kuò)展，并給出了包含流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)因子的資產(chǎn)定價(jià)模型，使定價(jià)模型充分反映投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的同時(shí)，包也含了更多的定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)因子.從最終得出的金融資產(chǎn)定價(jià)模型的形式來(lái)看，影響資產(chǎn)均衡收益的因素主要包括資產(chǎn)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、資產(chǎn)的流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)這2種風(fēng)險(xiǎn)之間的交互關(guān)系也對(duì)資產(chǎn)的均衡收益存在一定影響.在后續(xù)研究中，將著重結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)本文給出的金融資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)行實(shí)證分析，進(jìn)一步研究模型中各風(fēng)險(xiǎn)因子對(duì)于資產(chǎn)均衡收益的具體影響.

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