對一道2012年安徽省數學高考試題的別解及推廣

●施開明 (蘇州市第十中學 江蘇蘇州 215006)

圖1

(1)如果點Q的坐標是(4，4)，求此時橢圓C的方程;

(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點.

(2012年安徽省數學高考理科試題)

本題第(2)小題考查的是橢圓的切線問題，常規的解法是求得直線PQ的方程，與橢圓方程聯立，應用判別式證明方程組只有一組解.若應用橢圓的切線相關性質，則將得到第(2)小題更簡潔的證法.同時在本題的基礎上，可探究出一系列的結論，介紹如下，僅供參考(為了討論方便，下面均假設相關直線的斜率存在).

證法1 解析法

顯然 P'P″過焦點 F2，有

又F2P⊥F2Q，故點P與點P'重合，即直線PQ與橢圓C只有一個交點.

證法2 幾何法

因為PF1⊥x軸，所以

于是|F2Q|=|F1H|，因此直線PQ為∠F1PF2的外角平分線.由橢圓的光學性質知，PQ為橢圓的切線，即直線PQ與橢圓C只有一個交點.

評注對橢圓的上述光學性質簡證如下：

設F1關于直線 PQ的對稱點為 F'1，聯結PF'1，易得點 F1'，P，F2共線，從而|F1'F2|=2a.設P'是直線PQ上異于P的任意一點，則

因此點P'不可能在橢圓C上，點P為直線PQ與橢圓的唯一公共點，即PQ為橢圓的切線.

本題中的點P是橢圓通徑的一個端點，從證法1不難看出，過程并未用到PF1⊥x軸這一條件.事實上，對橢圓上任意一點P，第(2)小題的結論均成立，且其逆命題亦成立，于是有

推廣1 設F為橢圓的一個焦點，其相應的準線為l，點P，Q分別在橢圓及準線l上，則PF⊥FQ的充要條件是直線PQ為橢圓的切線.

(充分性)設P(x0，y0)，則切線PQ的方程為

式(1)正是橢圓在點P處的切線方程，即直線PQ為橢圓的切線.

推廣2的證明方法與推廣1類似，這里從略.顯然當t=c時，即為推廣1的結論.

在雙曲線及拋物線中，也有類似的結論：

推廣3 設F為雙曲線的一個焦點，其相應的準線為 l，點 P，Q分別在雙曲線及準線 l上，則PF⊥FQ的充要條件是直線PQ為雙曲線的切線.

推廣4 設F為拋物線的一個焦點，其相應的準線為 l，點 P，Q分別在拋物線及準線 l上，則PF⊥FQ的充要條件是直線PQ為拋物線的切線.

推廣3的證明與推廣1相同，這里從略.下面給出推廣4的證明：

設拋物線方程為 y2=2px(p＞0)，P(x0，y0).

(充分性)切線PQ的方程為

因此 kPF·kQF=-1，即 PF⊥FQ.

式(2)即為拋物線在點P處的切線方程，即直線PQ為拋物線的切線.

上述4個推廣可統一為如下定理：

定理設F為圓錐曲線C的一個焦點，其相應的準線為l，點P，Q分別在曲線C及準線l上，則PF⊥FQ的充要條件是直線PQ為曲線C的切線.