數學教學中創造性思維能力的培養

王利勇

（河源市紫金縣古竹中學，廣東 河源 517400）

數學教學中創造性思維能力的培養

王利勇

（河源市紫金縣古竹中學，廣東 河源 517400）

培養學生良好的思維品質是發展思維能力的突破口，是提高教學質量的有效途徑。多年來，我在教學中，廣泛采用剖析“錯在哪里”、尋找“解題新法”、注重“一題多變”、鼓勵“大膽猜想”等教法，提高學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性和直覺性，從而有效地培養了學生的創造性思維能力。現結合教學實踐，談幾點粗淺的認識和體會。

一、剖析“錯在哪里”，培養思維的深刻性

學生的學習和思考，是在不斷產生錯誤和糾正錯誤的過程中進行的。因此，教學中要允許學生出錯，并根據學生在解題中存在的問題，多問“錯在哪里？”，引導學生對解題過程進行反思。這樣做有利于培養學生思維的深刻性。

【例 1】過雙曲線3x2-y2=3的右焦點F2作傾斜角為π的直線AB，6交雙曲線于A、B兩點，求△ABF1的周長（F1是雙曲線的左焦點）。

圖1

圖2

對此題的解答結果，我不急于表態，而是引導學生對解題過程進行反思：（1）這個結果是否有錯？（2）如有錯誤，錯在哪里，如何糾正？

在整個教學過程中，我都堅持引導學生反思解題過程，剖析“錯在哪里”，從而有效地提高了學生思維的批判性、深刻性。

二、尋找“解題新法”，培養思維的廣闊性

對同一個問題能從多個方面加以思考，對同一個對象能從多種角度加以觀察，這就是思維的廣闊性。在教學中，我喜歡采用不同形式，引導學生尋找“解題新法”。通過用不同的方法解決同一道數學問題，拓寬了解題思路，鞏固了所學知識，激發了學生的學習興趣，培養了學生思維的廣闊性。

【例2】如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積成反比例，現有制箱材料60平方米，問a、b各為多少時，經沉淀后流出的水中的該雜質的質量分數最小?

這題我首先引導學生加工、檢索、提煉題中的數學模型關系：（1）2ab+2a+4b=60，（2）y=，從而把問題轉化為求解給定條件（1）下的函數y=的最值問題。由于最值問題的求解過程有極具開放性。于是我采用多種形式，啟發學生不斷另辟蹊徑，尋找“解題新法”。

緊接著，我提出新的解題方向，要求學生應用“均值不等式”尋找“解題新法”。借鑒于第一種解法，同學們經過類比、遷移，找到了兩種新的解法：

解法 2（簡解）：由（1）得 30=a+2b+ab≥2+ab0＜ab≤18。當且僅當a=2b=6時等號成立。

比較、講評、總結了上面三種解法后，我把應用“判別式法”和“導數法”解這一道題的任務，作為家庭作業布置給學生。作業批改時，我發現絕大部分學生較好地完成了這一尋找“解題新法”的任務，給出了本題的第四、第五種解法（解法略）。

家庭作業的完成，燃起了學生尋求“解題新法”的激情。我趁熱打鐵，在任教班板報的“點將臺”專欄上，給出了新的解題任務：“誰能在最短時間內，分別用‘換元法’和‘數形結合法’給出98年高考數學應用題的第六、第七種解法?！苯Y果，第二天早修課，便有12位學生找到了滿足要求的兩種解法：

為了優化學生的思維品質，對類似于這一試題的典型數學題，我從不放過引導學生進行“解題新法”開放性研究的機會。通過多角度、多方位的思考研究，集多種解法于一題，既匯集了大量的信息，又覆蓋了廣闊的知識，活躍了學生的思維，培養了學生思維的廣闊性。

三、注重“一題多變”，培養思維的靈活性

思維的靈活性表現為對知識的運用自如，既表現在不拘泥于陳舊的解題方法，能標新立異探索解題新法上，還表現在善于概括、遷移、觸類旁通、舉一反三，以深遂的洞察力應對一題的“千變萬化”上。因此，我在教學中既重視“一題多解”，更重視“一題多變”，根據教學內容和學生的實際，有目的選擇一些題目，引導學生進行延伸探索，借此提高學生思維的靈活性。

【例3】從一個正方體中，如圖那樣截去四個三棱錐后，得到一個正三棱錐，求它的體積是正方體的體積的幾分之幾？（高中《立體幾何》（必修）習題十三的第1題）。

概括、歸納了這道題的解題思想和方法后，為拓展、延伸學生的知識視野，我補了兩道變形練習題：

變形題1：如圖，正方體的棱長為a，求點A到截面BDC的距離。

變形題2：如查一個三棱錐的各棱長都為a，它的四個頂點都在同一個球面上，求這個球的半徑。

這兩道練習題，學生對例3的解題方法稍加變化遷移，很快就找到了答案。為進一步激活學生的思維，我加了變化梯度，給出了兩道新的變形題：

變形題 3：在球面上有四個點 P、A、B、C，如果 PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a學，求這個球的面積。

學生反思例3解題過程，經過類比、聯想，悟出了解題思路：把三棱錐還原為一個正方體。于是很快找到了答案：

變形題 4、如圖，ABCD、ABEF是正方形，二面角DAB-F的大小為60°，求異面直線AE、BD所成角的余弦值。

AE、BD兩異面直線所成的角，根據常規方法不易找出。不少學生通過上述練習，積極思考：能否類比、方法遷移？經過嘗試，把圖形還原成平行六面體，易得結果為。

習題結論的抽象，源于對知識本質特征的揭示；遞進問題的解決，源于對知識的融化、遷移和探索；規律的總結，源于對問題的變換和發散。通過這一系列的歸納、總結、延伸、擴展，學生的思維品質得到了優化，思維的靈活性得到培養。

四、鼓勵“大膽猜想”，培養思維的直覺性

思維的直覺性，是指對問題的結果不經過邏輯思維，直接地、迅速地做出合理猜測的一種思維形式。這就是人們常說的“頓悟”；猜想是從個別的、具體的、特殊的現象中尋求共性，歸納出一般結論的思維過程。數學教育家波利亞曾向廣大教師發出呼吁：“讓我們教猜想吧!”為此，我在教學中總要安排一定的直覺階段，給學生留下直覺思維的空間，使學生在實踐和訓練中，通過觀察發現事物的內在規律，然后鼓勵他們“大膽猜想”。多年的教學實踐證明，這是發展學生直覺思維能力的重要手段。

大膽的猜想來源于大量的觀察、探索，正確的猜想來源于正確的觀察、發現。為了便于觀察，突出對比，引發遷移，我首先引導學生列出如下數表。讓學生置身于荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所倡導的“再創造”的情景中：

n 1 2 3 4 5… n n i=1∑i2 1 5 14 30 55 … ？∑i 1 3 6 10 15 … 1 n n（n+1）i=12

n 1 2 3 4 5… n∑ 1 5 14 30 55… ？∑i 1 5 14 30 55 … 12n（n+1）n∑i2 i=1 n∑i 33 53 73 93 11 3… 2n+13 i=1

這個表在量上的變化，為學生的思維在質方面的飛躍提供了條件。在對比、觀察這個表的第一列和最后一列后，學生作出了大膽而正確的猜想：

肯定了這個猜想以后，我要求學生用數學歸納法證明這個猜想的正確性。

在培養學生思維直覺性的過程中，引導學生學會“實驗——觀察——猜想——證明”的思考方法，這是優化思維品質，發展學生的發現性思維、創造性思維的重要途徑。在教學上，我始終把它當作一項重要任務來抓。

教師是教學的組織者、引導者和合作者。教學的一切活動都要圍繞學生進行。在教學過程中，教師不僅要營造民主的課堂氣氛，還要在概念的形成、結論的推導，方法的抽象等一系列知識的發生過程和能力形成的過程中，讓學生自主去觀察、類比、聯想、猜想、討論、交流，鼓勵他們敢于質疑問難，把數學教學變為再發現、再創造的過程，使課堂成為學生表演的舞臺，培養創新思維的樂園。

（責任編輯：張華偉）