先分后合 化難為易

●臧玲娜 (浦江中學 浙江浦江 322200)

(1)若a=1，試判斷并證明函數f(x)的單調性;

(2)當a∈(1，6)時，求函數 f(x)的最大值的表達式M(a).

(2010年浙江省數學會考試題)分析 (1)略.

(2)由這一含有參數的絕對值函數，由于受到舊有的固定思考模式的限制，真正能夠把數形結合的思想方法用到這類題目當中的學生并不多，教師在分析問題時也沒有結合得很好.筆者認為，應該打破舊有的固定模式，用“先分后合”的“五步法”來解決高中數學中常見而學生又甚感困難的含參絕對值函數的作圖問題，以幫助學生加快作圖速度，培養作圖興趣，從而提高學生數形結合的能力.

當1≤a≤3時，函數 f(x)在［1，a］上單調遞增(如圖1)，在(a，6］上也單調遞增(如圖 2)，從而f(x)在［1，6］上單調遞增(如圖3)，即將圖1中［1，a］的部分圖像和圖2中(a，6］的部分圖像合在一起便可，把這種作圖方法稱為“先分后合”的方法.由圖3可知，當1＜a≤3時，f(x)在［1，6］上的最大值為 f(6)=4.5.

圖1 圖2 圖3

用“先分后合”的方法也可以很方便地畫出當3＜a＜6時的圖像.

當3＜a＜6時，分段函數的2個表達式的各自圖像如圖4、圖5所示，將圖4中［1，a］的部分圖像和圖5中(a，6］的部分圖像合在一起便得到了整個絕對值函數的圖像.由圖6可知，當3＜a＜6時，f(x)在［1，6］最大值為

圖4 圖5 圖6

由此可以總結出“先分后合”的方法作圖的步驟：①分段寫表達式：寫出含參的絕對值函數的分段表達式;②分別作圖：在各自坐標系內分別畫出分段函數的幾個表達式的完整圖像;③確定分類：根據圖像特征(主要是單調性)和各段函數的范圍確定分類原則和方法;④截取圖像：根據分類的標準截取各分段區間內的圖像;⑤合成圖形：把截取的幾部分圖像合成到新坐標系中，利用圖像解題.

例2 設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R.

(1)討論f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

(2002年全國數學高考試題)

分析 (1)略.

(2)按照“先分后合五步法解題”.首先分段寫表達式

然后在各自坐標系內分別畫出分段函數的2個表達式的完整圖像.因為2段曲線的對稱軸分別為x=0.5 和 x=-0.5，所以要分成 a≤ -0.5，-0.5＜a＜0.5和 a≥0.5進行討論.

圖7 圖8 圖9

①當a≤-0.5時，圖7中(-∞，a］的部分圖像和圖8中(a，+∞)的部分圖像合在一起得到圖9，由圖 9 可知 f(x)最小值為 f(-0.5)=0.75-a.

②當 -0.5＜a＜0.5時，圖10中(-∞，a］的部分圖像和圖11中(a，+∞)的部分圖像合在一起得到圖12，由圖12可知最小值為f(a)=a2+1.

圖10 圖11 圖12

圖13 圖14 圖15

綜上所述，

例3 已知a∈R，函數f(x)=x2|x-a|.

(1)當a=2時，求f(x)=x使成立的x的集合;

(2)求函數y=f(x)在區間［1，2］上的最小值.

(2005年江蘇省數學高考試題)

分析(1)略.

(2)由題意得

①當a≤1時，圖16中(-∞，a］的部分圖像和圖17中(a，+∞)的部分圖像合在一起得到圖18，由圖 18可知在［1，2］上 f(x)的最小值為f(x)=1-a.

圖16 圖17 圖18

②當 a∈(1，2］時，顯然有

③當a＞2時，由圖19～21可知

圖19 圖20 圖21

當然，在運用“先分后合”的方法作圖時要注意：分只是手段，合才是目的.分是為了合，如果能夠清楚地作出整個圖像就沒必要分.同時在分與合的作圖過程中，借助圖像可以更形象、直觀地理解為什么分類討論，如何分類討論.這是數形結合的新境界、新高度.