“隨機事件的概率”一課的賞析與思考

●謝尚志 (溫州市第二十三中學 浙江溫州 325000)

2011年10月19日“浙江省高中數(shù)學課堂教學評比暨有效教學論壇活動”在麗水中學舉行，筆者作為名師工作室學員，有幸觀摩了本次活動，感受了不同風格的課堂，也領略了不同地區(qū)優(yōu)秀教師的風采.特別是獲得本次評比活動第1名的溫州中學孫軍波老師的“隨機事件的概率”一課，其和諧的師生互動、活躍的數(shù)學思維、自然的思維過度、異彩紛呈的生態(tài)課堂，令筆者耳目一新、如沐春風.下面是筆者對該節(jié)課的幾點體會及對今后教學的啟示，望與廣大同仁交流學習.

1 課例賞析

1.1 名詩導入——掀起情感浪潮

導入環(huán)節(jié)雖是教學過程中短暫的一段，但由于是師生課堂交往的最初階段，因而師生之間的信息感應和接受都是強有力的.孫老師以自己去泰山游玩為題材，結(jié)合一句名詩“會當凌絕頂，一覽縱山小”設置問題導入.

問題：“會當凌絕頂，一覽縱山小”這種景象在登泰山時一定能看到嗎?

此問題情境的創(chuàng)設新穎、精致，不僅能快速集中學生的注意力，激發(fā)學生的興趣，將學生的思維“鎖”定本節(jié)課的重點內(nèi)容之一——隨機事件的概率，又充分體現(xiàn)了數(shù)學教師的人文修養(yǎng).對于一名優(yōu)秀的教師來說，在組織建立課堂秩序及傳授知識的過程中，積極得體的語言表達以及通過語言表現(xiàn)出來的氣質(zhì)、修養(yǎng)、情感等個性特征和人格魅力，以及對學生表現(xiàn)出的鼓勵、期望等種種良性暗示，都會構(gòu)成一個強大的信息沖擊波，在學生腦海里留下深刻的印象，掀起積極情感的浪潮.

1.2 有效實驗——演繹數(shù)學本源

通過學生親自動手實驗，體會隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，由此給出概率的統(tǒng)計定義，這是本節(jié)課的主要任務.在此環(huán)節(jié)教學中，孫老師始終圍繞著“隨機事件的隨機性以及隨機性中表現(xiàn)出來的規(guī)律性”這一核心概念進行實驗設計和實驗結(jié)果分析.

實驗1 學生拋硬幣實驗，回顧頻數(shù)、頻率等概念.

要求 全班每2個人一組，每小組實驗10次，每小組安排一人拋擲，一人記錄硬幣“正面朝上”的次數(shù)，填入書上的表格.

分析Excel采集數(shù)據(jù)并做出折線圖.

問題1 與其他小組實驗結(jié)果比較，你和他們的結(jié)果一致嗎?為什么會出現(xiàn)這樣的情況?

問題2 大家做出來的，正面朝上的頻率并不都是0.5，跟我們的猜想有出入，那是什么原因?

問題3 書本上要大家將小組的結(jié)果加起來，再將全班的結(jié)果加起來，目的是什么?

問題4 如果同學們再重復一次上面的實驗，全班的匯總結(jié)果還會和這次的匯總結(jié)果一致嗎?如果不一致，你能說出原因嗎?

實驗2 計算機模擬拋硬幣實驗，摸擬5組拋1 000次實驗.

分析Excel采集數(shù)據(jù)并做出折線圖.

問題5 Excel左側(cè)是大家的實驗所得的頻率，右側(cè)是1 000次的摸擬實驗的頻率，通過對比，能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象?

再用計算機摸擬，在相同條件下，實驗1 000次的過程，記錄其中每拋一次，所對應的頻率變化.

問題6 通過摸擬實驗，你觀察到了什么現(xiàn)象?

實驗3 介紹歷史上一些拋硬幣的實驗結(jié)果.

分析將歷史上的實驗結(jié)果做成折線圖與實驗1、實驗2的統(tǒng)計圖進行比較，引導學生觀察、分析、歸納、總結(jié)出拋硬幣實驗正面朝上的規(guī)律性：隨著實驗次數(shù)的增加，正面朝上的頻率穩(wěn)定在0.5附近.

問題7 概率用來度量可能性的大小，那正面朝上的概率是不是為確定的常數(shù)?

問題8 每次實驗“正面朝上的頻率”是不是都是相同的值?

問題9 能不能用某次實驗的頻率作為概率?例如將皮爾遜拋擲2 400次實驗獲得的頻率0.500 5作為正面朝上的概率?為什么?

問題10 根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的圖表分析，用哪個量做為“正面朝上的概率”比較適合呢?且對于一般隨機事件來說，可以用什么樣的方法來獲得隨機事件概率呢?

孫老師通過“學生的實驗結(jié)果”、“計算機模擬擲硬幣的實驗結(jié)果”、“歷史上一些擲硬幣的實驗結(jié)果”，以及統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖等手段，使學生感受到隨著實驗次數(shù)的增加，正面朝上的頻率在0.5附近擺動;再由特殊事件轉(zhuǎn)到一般事件總結(jié)方法;最后進一步解釋了這個常數(shù)(頻率的穩(wěn)定值)代表的意義.在學生經(jīng)歷上述過程后，教師再引導學生得出事件的概率的定義，很好地突破了本節(jié)課的教學難點.在整個過程中，教學步驟層次清晰，實驗設計緊扣核心，問題解決演繹數(shù)學本源，同時體現(xiàn)了實驗、觀察、歸納和總結(jié)的思想方法.

1.3 情感滲透——宣揚數(shù)學文化

從課堂導入到隨機事件的定義、研究隨機事件概率的必要性，孫老師始終在“數(shù)學源于生活”、“數(shù)學是有用的”理念下進行教學設計與實施.在學生完成擲硬幣實驗后，孫老師又生動地介紹了歷史上“棣莫弗”、“蒲豐”、“費勒”、“皮爾遜”等數(shù)學家的擲硬幣實驗，這不僅是實驗數(shù)據(jù)分析的需要，又豐富了學生的數(shù)學史知識，體驗了數(shù)學家們追求真理的嚴謹與執(zhí)著，更是一次情感、態(tài)度與價值觀得到熏陶與垂范的良機.在得出概率的統(tǒng)計定義后，孫老師又向?qū)W生介紹了“大數(shù)定律”及概率論先驅(qū)——瑞士數(shù)學家伯努利.在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)中，孫老師引用張景中院士的一句話“概率論這門數(shù)學，就是研究大量偶然事件發(fā)生的宏觀數(shù)量規(guī)律的學問”作為總結(jié).在課后作業(yè)中，設計研究性作業(yè)——查閱“大數(shù)定律”、了解概率發(fā)展史.這樣的設計既圍繞著數(shù)學本質(zhì)，又開拓了學生的數(shù)學視野，宣揚了數(shù)學文化，使學生在數(shù)學學習中經(jīng)受了人類文明的洗禮.

1.4 自然過渡——保持思維流暢

學生思維活躍、流暢，課堂銜接自然、無痕，可以說是本節(jié)課的另一亮點.問題“向空中拋一支粉筆，一定會掉下來，屬于哪類事件?一定會掉下來嗎?”自然地突出了“事件發(fā)生的條件S”這一教學關鍵點.問題“杜麗射擊一次，擊中靶心是屬于哪類事件?那為什么選派她參加奧運會呢?”無痕跡地將學生思維從隨機事件分類的判斷過渡到研究隨機事件發(fā)生的可能性大小上來.游戲“拋擲2枚質(zhì)地均勻硬幣，定義一變量為X：若結(jié)果為2個正面，則X=2;若結(jié)果為1正1反，則X=1;若結(jié)果為2個反面，則X=0.現(xiàn)在同時拋擲2枚硬幣一次，你猜X的值為多少，理由是什么?”看似擲硬幣實驗的一個簡單“變式”，其實不然，它是課本實驗的自然延續(xù)，保持了學生思維的連續(xù)性與課堂的流暢性，更是概念“精致”過程中不可缺少的環(huán)節(jié).本節(jié)課中看似簡單的一句話語、一個問題、一個游戲，無不反映出孫老師對“教什么”的深刻認識，以及對“怎么教”的有效把握，使學生的思維始終保持積極活躍，使課堂保持自然流暢.

2 課例思考

2.1 為什么要選擇“拋硬幣實驗”

本次活動中執(zhí)教“隨機事件的概率”的6位教師，均以數(shù)學實驗為本節(jié)課的教學核心，而且包括孫老師在內(nèi)的4位教師選擇了拋硬幣實驗，有1位教師重新設計了拋硬幣實驗，另有1位教師采用摸球?qū)嶒?，這也充分體現(xiàn)了教師“尊重教材，用教材教”的教學理念，但留給筆者一個思考：教材為何選擇拋硬幣實驗?

2.2 有比拋硬幣更“好”的數(shù)學實驗嗎

從筆者與其他觀摩教師的交流與自身的教學實踐發(fā)現(xiàn)，在非公開課、評比課上學生對拋硬幣實驗均表示出興趣不濃，參與熱情不高，做實驗不按要求，甚至會出現(xiàn)玩耍、隨意亂報數(shù)據(jù)等情況.因此，能否設計一個更“好”的數(shù)學實驗替代拋硬幣實驗值得教師們?nèi)ニ伎己蛧L試，如：

實驗1 在畫有等距平行線的紙上，隨機地拋擲一枚牙簽，研究牙簽與平行線有交點的概率.

實驗2 在畫有“田”字格的紙上，豎直向上拋擲一枚硬幣，研究硬幣落在格內(nèi)(即硬幣不與邊框相交)的概率.

實驗3 打一篇英文稿件要輸入很多字符(含26個英文字母、標點符號和空格等)，研究任意輸入文章中的一個字符，是空格字符(即研究任意輸入一篇英文稿件時鍵盤上空格鍵被敲擊)的概率.

實驗4 1個盒子里放著白棋與黑棋，一共30枚，要求一次只能摸出1枚棋子，記錄顏色后要放回盒子里，問：盒子中有多少枚白棋，多少枚黑棋?

筆者認為，實驗1、實驗2雖能在一起程度上引起學生的興趣，達到實驗目的，但研究問題的出現(xiàn)不太自然，學生始終在教師的意識驅(qū)動下進行實驗.實驗3、實驗4的設計源于學生的生活，研究問題的產(chǎn)生是自然的，問題的結(jié)果也是學生迫切想知道的，也就是說，實驗在學生自身求知欲的驅(qū)動下進行.學生先通過提出解決問題的猜想，并動手實踐，小組合作，全班討論，在此過程中，加深對隨機現(xiàn)象的認識，揭示描述概率的要素(頻率)，探究通過頻率的規(guī)律性來定義概率的過程與合理性，突破了教學難點.此外，學生對實驗1～3中的概率值為一個固定常數(shù)并不能有一個完整的認識，然而實驗4的設計更符合學生實際與教科書的設計意圖.

3 對今后教學的啟示

3.1 注重數(shù)學實驗的核心教學價值

數(shù)學實驗為自主探索、動手實踐、合作交流等學習數(shù)學的方式提供了可能，它的核心教學價值是使學生在實驗中形成直觀感知后總結(jié)出解決問題的方法和思想，培養(yǎng)學生觀察、猜想、分析與歸納的能力.在教學中，除了讓學生動手實踐之外，更應該通過優(yōu)化問題的設計，激活學生的數(shù)學思維，引導學生觀察、分析實驗結(jié)果并進行歸納、總結(jié)，注重引導學生用語言表達自己對實驗過程和實驗結(jié)果的看法，體現(xiàn)數(shù)學實驗的核心教學價值.

3.2 體驗數(shù)學概念形成過程的感悟

本節(jié)課最大的亮點莫過于“概率的統(tǒng)計定義”的形成過程的教學.《普通高中數(shù)學課程標準》指出：“……由于數(shù)學高度抽象的特點，注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在教學中要引導學生經(jīng)歷具體實例抽象數(shù)學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì).”概念形成的教學通常圍繞著概念的核心展開，實際上是掌握同類事物的共同、關鍵屬性的過程，因此需要有一個從外到內(nèi)、由表及里的過程.在學生經(jīng)歷概念形成過程中，教師要讓學生體會數(shù)學思想方法，體驗數(shù)學文化，理解數(shù)學本質(zhì).

3.3 設計聚焦概念核心的例題、練習

這次活動的6節(jié)“隨機事件的概率”課中，有5位教師設計了類似如下例題作為概念鞏固與應用：

某批羽毛球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果如表1所示.

表1 某批羽毛球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表

(1)計算各個產(chǎn)品質(zhì)量檢查的頻率;

(2)從這批羽毛球中任意抽取一個，是優(yōu)等品的概率約是多少?

該問題的解決，只需憑學生已有知識或者教師直接告知學生“隨著實驗次數(shù)的不斷增加，頻率會穩(wěn)定在一個常數(shù)附近”這一結(jié)論性知識就能輕易解決.這和本節(jié)課的教學重心是不相吻合的，更起不到“精致”概念的作用.

而孫老師用游戲來代替例題，這樣的設計“實驗味”很濃，又能給學生帶來思維上的沖擊，學生再次經(jīng)歷猜想、設計(實驗方案)、觀察、分析、歸納的過程，是概念中數(shù)學思想的重現(xiàn)，更有助于學生理解概念的本質(zhì).一個好的例題往往承載著概念的本質(zhì)，蘊含著豐富的數(shù)學思想.在形成一個新的數(shù)學概念之后，設計聚焦概念核心的例題與練習是概念“精致”過程中不可替代的環(huán)節(jié).