用哲學觀點駕馭空間幾何中數學思維的理性

●凌云志 (黃山區教育局教研室 安徽黃山 245700) ●洪新華 (黃山市教科所 安徽黃山 245000)

很多學生怕學空間幾何，是因為空間幾何抽象難以萌發數學的直覺.如果能靜心反思課堂教學和學生解題時的困惑，那么歸因就不那么簡單.誠然，與空間相關的基本概念、公理、定理和基本模型是學好此課的基石;典型問題的演練是培養學生學習與解題能力的重要途徑.筆者認為，很多空間幾何課堂教學缺失了賦予學生體驗數學智慧的經歷，這種智慧被我們定格于演繹推理形式邏輯所吞噬，空間思維需要“運動與相對靜止”、“相互聯系與轉化”等哲學觀來統領，讓學生學到理性駕馭思考問題的經驗.

縱觀教材：點、線、面、體概念的建立，點動成線、線動成面、面動成體;面面相交成線、線面相交或線線相交成點;線線平行(垂直)與線面平行(垂直)或面面平行(垂直)互化等，足以說明：空間從本質上是運動、變化、聯系的.基礎知識只是賦予了空間結構與空間元素基本的數學聯系(本質)，它是相對靜態的和獨立的，即哲學意義上的相對靜止.有些基本的(概念、定義、公理和定理)知識放歸于多樣復雜的空間問題時，教師必須借助運動變化、聯系轉化的觀點，展示認識空間數學本質有序性和方法性，讓學生真實體驗到基本知識的價值與意義(知識的活化).因而，巧妙、適宜地變化題境，展示空間元素運動、變化、聯系、生成的生動畫面，促使學生空間觀念有效形成與發展.在教學中，應注意以下幾個方面：

1 運動生成

例1 給定異面直線a，b和點P，令直線a，b所成的角為θ，問過點P能作幾條直線滿足：與直線a所成的角為銳角α且與直線b垂直.

點撥 如圖1，過點P作 a'∥a，b∥b'，過點 P 與直線 a'所成的銳角α的直線，以及過點P與直線b'垂直的直線，它們形成的空間圖形各是什么?

意義 過點P與直線a'所成的角為銳角α的所有直線的集合，是以a'為軸，2個對頂的錐角為2α的“無底圓錐”側面，設其曲面為S;過點P與直線b'垂直直線的集合，是以b'為法線，過點P的平面β.符合條件的空間元素運動生成特定空間：曲面S是過點P繞a'軸旋轉而成，平面β是取一條過點P與直線b'垂直的直線繞點P旋轉而成.

圖1

空間元素從“無形”明晰出“有形”、局部拓展成全部、個體演繹為總體，這是空間觀念存在并能動地再現概念屬性的體現，是探究空間幾何問題能力的基礎，是教師首要追尋的教學目標.

覺悟 若90°-θ＜α，則S∩β是2條直線，滿足題設的直線可作2條;若90°-θ=α，則平面β與曲面S切于1條直線，滿足題設的直線僅可作1條;若90°-θ＞α，S∩β=φ，則滿足題設的直線不存在.

2 以靜制動

圖2

(1)三棱錐A-BEF的體積是否變化;

(2)異面直線AE與BF所成的角是否變化;

(3)二面角E-AB-F是否變化;

(4)二面角A-EF-B是否變化;

(5)二面角A-EB-F是否變化;

點撥 (1)從定點A，B觀察線段EF，結合面積、體積度量要素，能做出哪些判斷?

(3)如何延展△ABF和△ABE所代表的“局面”，顯現二面角E-AB-F;

(4)注意變化的△AEF，△BEF所在的面;

(5)注意二面角A-EB-F與二面角A-EB-D之間的關系.

意義 感悟“動中有靜”、“變中有定”，相對靜止是認識事物的重要方法;學會以靜制動，用“定”思“變”.

發現具特殊意義的空間背景或對象，從而找到解決問題的方法與思路，誘發空間觀念以追尋數學意義或價值之目標意識，這應成為教師培養學生空間思維能力的關鍵.

覺悟 (1)如圖2，點A到EF距離不變，S△AEF為定值，點B到平面AB1D1距離不變，于是動點E，F不引起VA-BEF變化.

圖3

基于適用于水利建設的地理水紋記號系統化研究，本文提出了系統化的研究方法及流程，把視覺傳達設計運用于具體的水利水紋記號改良設計。我國現代水利中的地理水紋記號還有待于規范、完善，這對于我國水利現代化建設以及水文化發展具有重大現實意義。

3 化靜為動

(1)若DA⊥平面APB，試問：平面APC⊥平面ABCD成立嗎?

(2)若AP⊥平面ABCD，試問：你能探究出哪些結論?在什么位置作出二面角A-PB-C為宜?

(3)若PC⊥BC，試問：平面APC⊥平面ABCD是否成立?是否有AP⊥平面ABCD成立?

點撥 (1)在DA⊥平面APB條件下，在平面APB內，過點B作P'B⊥AB，你能發現∠P'CB的特殊意義?

(2)在AP⊥平面ABCD的條件下，能否從線面垂直去發現更多有關面面垂直或線線垂直的結論?

(3)在PC⊥BC的條件下，為探究AP⊥平面ABCD成立與否，注意點P有無可變化余地.

意義 題設往往賦予空間的可變性，對驗證猜想是否合理至關重要;感覺到空間的可變性就是發揮空間觀念探究問題能動意識，教師誘發“可變”贏得學生主動“可為”.

圖4 圖5

覺悟 如圖4，由附加條件(1)和點撥(1)，易證：P'B⊥平面ABCD，AC⊥CB，從而∠P'BC為P'-AC-B的平面角，由△P'CB是直角三角形，∠P'BC是銳角，知平面APC⊥平面ABCD不一定成立.

(2)如圖5，由題設及AP⊥平面ABCD可得：①平面APC⊥平面ABCD，平面APD⊥平面ABCD，∠DAC為二面角D-PA-C的平面角.②BC⊥平面APC，∠ACP為P-BC-A的平面角;在平面APB內作EH⊥PB，點H為垂足，聯結CH，∠CHE即為二面角A-PB-C的平面角.

(3)如圖5，聯結DE，易證DE∥CB，由題設及PC⊥BC得DE⊥平面APC，平面APC⊥平面ABCD都成立;由于當點P在線段PC移動至某點P'時，不會改變題設條件，由AP位置的可變性，知AP⊥平面ABCD結論不一定成立.

4 關注特殊

圖6

點撥1 能否弄清平面BEF與平面PAB在點B處的交線情況?因E，F分別是AD，PC的中點，故考慮EF與平面PAB和平面PBC的位置關系.

意義 矛盾的特殊性決定事物的性質，把握題設條件的特殊性是找準解題突破口、使空間觀念具備鎖定解題關鍵的數學視角，它是體現空間幾何課堂有效教學的重要環節之一.

點撥2 EF∥平面PAB，對分析平面BEF與平面PAB在點B處交線位置有意義嗎?

意義 由特殊性入手，繼而引發對關聯性的思考，使學生空間觀念處于有序漸進、層層深入的探究氛圍，這是教師孜孜以求的課堂教學藝術.

覺悟2 交線應與EF平行，過點B作BP'∥EF.

點撥3 根據EF⊥平面PBC，可知P'B⊥平面PBF，對明確平面BEF與平面PAB的夾角有幫助嗎?

覺悟3 是∠PBF(得到它為45°，并不難).5 教育價值

數學課不僅僅要傳授知識、教會方法、領悟思想和獲得能力，還有一個更沉重的價值：對人的世界觀形成與發展應產生積極的影響.我們應沉思為什么有那么多的學生厭惡數學，盡管成因復雜，但有一點，在高考的高壓下，我們的數學課太急功近利，呈現的數學問題雜、難、快、多，很少有教師去思考：如何教會學生去品味、體驗數學中蘊含的讓人明智的哲理與從容的理性.把哲學的境界融入空間幾何的課程中，旨在挖掘其教育功能.究其因，空間幾何課程有太多的教育素材，如線線、線面、面面關系的轉化，空間問題化歸為平面問題，位置關系與數量關系的互化，都印證了哲學上事物是普遍聯系又相互轉化，而且這種聯系與轉化又帶有某種規律.又如利用圖形的特殊性質可以便捷地找出或求出二面角，這不正是靈驗了把握特殊性是認識事物性質和解決問題的重要方法.再如，認真思考題設(諸如含45°、60°特殊角，有垂直或平行關系存在等)，巧抓偶然性，尋找解題的突破點，題設之偶然寓于問題結論求索的必然之中，等等.哲學給數學帶來境界，也給數學送來獲得智慧的經驗與體驗，為統領空間幾何解題的觀點、思想與方法帶來了高度.