數學思想領銜主演不等式問題

☉湖北省當陽市河溶高中 陳 軍

不等式問題中蘊含著豐富的數學思想，在教學的過程中，若能恰當地運用這些思想方法，則可使很多復雜問題化難為易，化繁為簡，從而達到優化解題過程、培養思維能力的目的.經常使用的思想方法有函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想、分類討論思想等.下面筆者根據自己多年的教學實踐，談談自己的看法.

一、轉化與化歸思想

不等式的證明和求解，實質上就是利用不等式的性質對不等式進行轉化.二次不等式恒成立可以轉化為判別式Δ和開口方向應滿足的不等式組，也可以利用函數最值進行轉化求解.二次函數的最值又可以轉化為直線在y軸上的截距.總之轉化和化歸思想在不等式的學習中處處可見.

解析：本題乍一看，會認為這種不等式不屬于常見的一元二次不等式，感覺無從下手，但仔細觀察分母，可知它是恒大于0的，從而轉化為分子與分母的大小比較問題.

二、分類討論思想

當我們解含有字母系數的不等式時，往往要對其中所含的字母進行適當的分類討論.分類討論的原因大致有以下三種：（1）對不等式作等價變換時，正確運用不等式的性質而引起的討論；（2）對不等式（組）作等價變換時，由相應方程的根的大小比較而引起的討論；（3）對不等式作等價變換時，由相應函數單調性的可能變化而引起的討論.

例2 設不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M?［1，3］，求實數a的取值范圍.

解析：求解本題須從M?［1，3］入手，其包含兩種情況：

①M=?，此時Δ<0；②M≠?，此時Δ≥0，需分三種情況計算a的取值范圍.

設f（x）=x2－2ax+a+2，Δ=（－2a）2－4（a+2）=4（a2－a－2）.

M?［1，3］包含兩種情況：①M=?，此時Δ<0；②M≠?，此時Δ≥0，需分三種情況計算a的取值范圍.

（1）當Δ<0時，－1

（2）當Δ=0時，a=－1或2.當a=－1時，M={－1}，不合題意；當a=2時，M={2}?［1，3］，符合題意；

（3）當Δ>0時，a<－1或a>2.設方程x2－2ax+a+2=0的兩根分別為x1、x2，且x1

例2實質上是二次函數的區間根問題，弄清二次方程、一元二次不等式、二次函數三者之間的內在聯系是解題的關鍵.另外，不要忽略M=?是符合題設條件的情況之一.所以分類討論的關鍵是要根據實際問題找到分類標準，標準的確定須使任兩類交集為空集且并集為全集，這樣才能在解題過程中，做到合理、不重復、不遺漏.

三、數形結合思想

數形結合思想，即根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法.數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.如果不等式的結構可以通過某種方式與圖形建立聯系，則可設法構造圖形，將不等式所表達的抽象數量關系轉化為圖形加以解決.這種數形結合法可以避免解不等式時求交集的運算，解法簡練、清楚，是一種生動活潑的思維方式.用數形結合法解（或證）不等式問題的關鍵是準確畫出所構造的兩個函數的圖像，自變量的取值范圍要準確定位.在探究線性規劃問題時，數行結合思想有著廣泛的應用.

例3 當方程x2+ax+2=0至少有一個實數根小于－1時，求實數a的取值范圍.

解析：“至少有一個實數根小于－1”包括只有一個實數根小于－1或兩個實數根都小于－1兩種情況.可以借助作圖輔助求解.

設f（x）=x2+ax+2，其圖像是拋物線.

圖1圖2

（1）當原方程有一個實數根小于-1，另一個實數根大于-1時，如圖1所示，必須且只需即

（2）當原方程的兩個實數根都小于-1時，如圖2所示.（3）當方程有一個實數根為-1，另一個實數根為-2時，a=3.綜上所述，原方程至少有一個實數根小于-1時，a的取值范圍是

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，也就是對題目中的條件和結論既分析其代數含義又挖掘其幾何背景，在代數與幾何的結合中找出解題思路.

總之，在教學過程中，要注重對思想方法的滲透，讓數學思想引領我們的教學，使學生能夠感悟領會，達到舉一反三的效果，這樣對數學成績的提高是大有裨益的.

1.張曉萍.數學思想方法在不等式中的應用［J］.數學大世界，2010年第08期.

2.楊再軍.例說數學思想在不等式中的應用［J］.高中數學教與學，2006年第03期.