高中數(shù)學(xué)示錯(cuò)教學(xué)的 實(shí) 踐 與 研 究

☉浙江省桐鄉(xiāng)市高級(jí)中學(xué) 豐關(guān)堂

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在學(xué)習(xí)中并不是不勤奮也并不是不夠聰明，而是因?yàn)槌３：雎粤艘恍┘?xì)節(jié)問(wèn)題導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳.示錯(cuò)教學(xué)能夠?qū)⒁恍W(xué)生理解得不夠透徹和沒(méi)有注意到的地方特別強(qiáng)調(diào)出來(lái)，幫助學(xué)生提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用.本文主要闡述示錯(cuò)教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用和重要性.

一、示錯(cuò)教學(xué)的界定、目的、意義及理念支撐

“示錯(cuò)”即是“展示錯(cuò)誤”.但是示錯(cuò)教學(xué)并不只是簡(jiǎn)單地將錯(cuò)解展示在學(xué)生面前.而是教師通過(guò)對(duì)學(xué)生所犯錯(cuò)誤的觀察，選擇典型的錯(cuò)例，但并不直接指出學(xué)生的錯(cuò)誤，而是讓學(xué)生表述在解題時(shí)的思路和想法，根據(jù)表述來(lái)找出學(xué)生犯錯(cuò)誤的根源，如對(duì)概念理解得不透徹、存在某種思維定勢(shì)等，進(jìn)而幫助學(xué)生解決問(wèn)題，避免以后再犯.老師在示錯(cuò)教學(xué)中也不僅僅是幫助學(xué)生尋找錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤，還要教會(huì)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、怎樣尋找錯(cuò)誤的根源并學(xué)會(huì)自己對(duì)自己進(jìn)行示錯(cuò)教學(xué).

通過(guò)這樣的示錯(cuò)教學(xué)，學(xué)生收獲的不僅僅是改正一道題或是一類題，而是培養(yǎng)正確的解題方式、思維習(xí)慣和反思的能力.這種良好的習(xí)慣不僅對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有益，對(duì)學(xué)習(xí)其他學(xué)科乃至為人處事都大有裨益.

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史就是數(shù)學(xué)家們通過(guò)不斷犯錯(cuò)，又不斷地發(fā)現(xiàn)并改正錯(cuò)誤，在眾多岔路口中最終尋找到通往真理道路的過(guò)程.因此，我們要幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所犯的錯(cuò)誤，不能不當(dāng)回事，也不能對(duì)數(shù)學(xué)喪失信心，讓這些錯(cuò)誤不僅不會(huì)成為學(xué)生們前進(jìn)的絆腳石，反而成為學(xué)生前進(jìn)的階梯.

二、示錯(cuò)教學(xué)的操作方法

1.全面理解定義、定理和公式.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，定義、定理和公式是解決一切問(wèn)題的基石.如果連數(shù)學(xué)的基本概念都沒(méi)有理解透徹，對(duì)適用范圍也沒(méi)有理清，對(duì)概念與概念之間的相互聯(lián)系都不能很好把握，在解決一兩個(gè)問(wèn)題時(shí)也許沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái)，但隨著解決的問(wèn)題數(shù)量以及難度的提高，這些缺陷就會(huì)暴露出來(lái).不少學(xué)生認(rèn)為要想學(xué)好數(shù)學(xué)、在考試中拿高分就必須努力鉆研難題.實(shí)際上，很多學(xué)生在解決一個(gè)所謂的難題時(shí)，“卡”住的地方往往就是他對(duì)基本概念掌握不牢的地方.

2.找出題目中的陷阱.

有一些高中數(shù)學(xué)題題干非常長(zhǎng)，看起來(lái)很復(fù)雜，但是實(shí)際上做起來(lái)比較簡(jiǎn)單，而有些數(shù)學(xué)題題干也許只有一句話，看似簡(jiǎn)單，其實(shí)在這一句話中還隱藏了一些表面上沒(méi)有看到的條件，學(xué)生們稍不注意就容易掉入這樣的“陷阱”.

這道題看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，通過(guò)前面的等式變形可以得到y(tǒng)2=-4x2-16x-12，從而可以得到，由這個(gè)式子我們可以得到，當(dāng)時(shí)，x2+y2有最大值的取值范圍是］.可是實(shí)際上是這樣嗎？這樣的解法其實(shí)默認(rèn)了x的取值范圍為（-∞，+∞），但是我們還忽略了題干中給的另一個(gè)隱藏的條件，那就是通過(guò)前面的等式，我們可以獲得x的取值范圍.x的取值范圍其實(shí)并不是（-∞，+∞），而是通過(guò)，可得x的取值范圍為［-3，-1］.在這個(gè)基礎(chǔ)上求到的x2+y2的取值范圍才是這道題的正解.

例2中的x的取值范圍在題干當(dāng)中，還有另外一種情況如x2≥0、三角函數(shù)-1≤sinx≤1這類并不需要在題干中特別提出就已經(jīng)默認(rèn)的取值范圍情況.因此，在做高中數(shù)學(xué)題時(shí)，要時(shí)時(shí)刻刻記著任何結(jié)論都是在一定的范圍內(nèi)成立的，要隨時(shí)注意取值范圍的問(wèn)題.要想避開題目中的陷阱，獲得真正的答案，就要認(rèn)真分析題目提供的每個(gè)條件，還要注意到題目中所涉及知識(shí)點(diǎn)的特殊性，如前所提到的三角函數(shù)的取值范圍等，常常問(wèn)自己還有什么方面沒(méi)有考慮到.

3.分類討論要嚴(yán)密.

許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的印象還停留在只有唯一正解的印象上，如果是選擇題，有可能在選項(xiàng)的提示下還會(huì)進(jìn)一步思考，而如果是解答題則常會(huì)因?yàn)樗季S的不嚴(yán)密性造成分類討論不全，忘記討論特殊情況等現(xiàn)象.

例3 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.整理可得q3（2q6-q3-1）=0.由q≠0，可得方程2q6-q3-1=0，即

這個(gè)解法雖然得到了正確答案，但解法中卻有錯(cuò)誤，問(wèn)題出在哪兒呢？在等比數(shù)列中，雖然a1≠0，但是公比q卻是可以等于1的.因此在設(shè)未知數(shù)列出等比數(shù)列之前應(yīng)先討論q=1的情況，再討論q≠1時(shí)，將所設(shè)等式進(jìn)行變形，而錯(cuò)解中所設(shè)的公式已直接除去q=1的情況.

在與數(shù)列相關(guān)的題中，常需要考慮許多特殊情況，尤其是公比q=1的情況.老師在對(duì)這一類題進(jìn)行示錯(cuò)教學(xué)時(shí)，不僅要指出學(xué)生漏考慮了哪種情況，還可以幫學(xué)生總結(jié)出一些常見的需要考慮特殊情況的題型.當(dāng)然，最重要的仍然是要讓學(xué)生有考慮特殊情況和分類討論的意識(shí).對(duì)于分類討論的題目，學(xué)生失誤多是由于沒(méi)有一個(gè)宏觀考慮問(wèn)題的意識(shí)，要在對(duì)這類題目進(jìn)行示錯(cuò)教學(xué)時(shí)培養(yǎng)學(xué)生從全局把握問(wèn)題.

4.擺脫思維定勢(shì).

有許多學(xué)生看到數(shù)學(xué)題并沒(méi)有對(duì)整道題有一個(gè)全局的把握，頭腦中也沒(méi)有一個(gè)完整的思維過(guò)程，而是拿起筆就寫，這樣很容易被題目牽著鼻子走，尤其是遇到一些和以前遇到的題目類型相類似的題目時(shí)，更容易陷入一種思維定勢(shì)，造成解題的錯(cuò)誤.

例4 過(guò)點(diǎn)P（2，3）且與曲線y=x3-2x+3相切的直線方程.

要求曲線的斜率很簡(jiǎn)單，即把x=2代入切線的斜率方程，即k=y′|x=2=（3x2-2）|x=2=10，所以所求切線方程為y-3=10（x-2），即10x-y-17=0.

但是這樣的解法卻是錯(cuò)誤的，為什么呢？因?yàn)閥=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率是f′（x0）成立的條件是點(diǎn)P要在曲線上.許多學(xué)生在做題的時(shí)候看到題目表明是過(guò)點(diǎn)P與曲線相切的方程就按照思維定勢(shì)認(rèn)為這個(gè)點(diǎn)就是切點(diǎn).實(shí)際上在例5中，點(diǎn)P（2，3）雖然在切線上卻不在曲線上，點(diǎn)P并不是切點(diǎn).這是解這類題型時(shí)的典型錯(cuò)誤，隨著老師的強(qiáng)調(diào)，現(xiàn)在大部分學(xué)生已不會(huì)再犯這樣的錯(cuò)誤.但是思維定勢(shì)并不僅存在這一類題中，因此學(xué)生在做題時(shí)切忌按照以往的印象來(lái)做題，而是應(yīng)該認(rèn)真審題，尤其是遇到與以前做過(guò)的題類似的題時(shí)更應(yīng)該謹(jǐn)慎.避免思維定勢(shì)一個(gè)很好的辦法就是當(dāng)自己認(rèn)為理所應(yīng)當(dāng)是這樣時(shí)再問(wèn)自己一遍，有沒(méi)有不是這樣的情況.就像這道題，一看題很多學(xué)生都想當(dāng)然認(rèn)為P是切點(diǎn)，應(yīng)該問(wèn)自己，P真的是切點(diǎn)嗎？P可不可以不是切點(diǎn)？

三、示錯(cuò)教學(xué)的理念提升

前面對(duì)示錯(cuò)教學(xué)的介紹以及后面列舉的幾個(gè)典型問(wèn)題似乎都在說(shuō)明示錯(cuò)教學(xué)主要是在向?qū)W生展示一道題的錯(cuò)誤解法，通過(guò)指出錯(cuò)解的原因和需要注意的問(wèn)題以達(dá)到教學(xué)的目的.但實(shí)際上，對(duì)示錯(cuò)教學(xué)的認(rèn)知和應(yīng)用已不應(yīng)該僅局限在習(xí)題的講解上，而應(yīng)將其的深度和廣度擴(kuò)大.在上新課時(shí)，以前老師們多是干巴巴地講解新概念，隨后就是一系列的例題講解.其實(shí)，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不僅僅是通過(guò)簡(jiǎn)單的講解概念和例題來(lái)進(jìn)行的，在講解概念時(shí)，我們也同樣可以應(yīng)用到示錯(cuò)教學(xué)，通過(guò)列舉幾種理解上的錯(cuò)誤來(lái)幫助理解數(shù)學(xué)的文字概念.示錯(cuò)教學(xué)也不一定要通過(guò)老師來(lái)進(jìn)行，畢竟老師不可能將每道錯(cuò)題都一一在課上講解出來(lái).

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，示錯(cuò)教學(xué)是一個(gè)非常有效的教學(xué)手段.通過(guò)示錯(cuò)教學(xué)，學(xué)生能更好地發(fā)現(xiàn)自己對(duì)定義、概念等理解的偏差，發(fā)現(xiàn)自己在解題思路，答題策略上的一些疏忽.學(xué)生只有真正認(rèn)識(shí)到自己錯(cuò)誤的所在，才能及時(shí)改正，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力.因此，老師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況以及所犯錯(cuò)誤的類型進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖惧e(cuò)教學(xué).