三角函數最值的求解策略

☉山東省菏澤二中 洪寶華

三角函數的最值問題是三角函數知識的綜合應用，是對三角函數的概念、圖像和性質，以及對誘導公式、同角三角函數基本關系式、兩角和與差的三角函數公式的綜合考查，是函數內容的交匯點，也是函數思想的具體體現.三角函數最值有著廣泛的應用，是歷屆高考的重點，也是高考命題的熱點.對這類問題，只要我們采取恰當的策略，就可以簡捷地求解.下面舉例介紹幾種三角函數最值問題的常用求解策略.

一、y=asin x+bcos x型

特點是含有正余弦函數，并且是一次式.

所以函數f（x）的最大值為2，最小值為-1.

二、y=asin2x+bcos x+c型

特點是含有sin x、cos x，并且其中一個是二次.

求解策略：利用sin2x+cos2x=1，使函數式只含有一種三角函數，轉化成二次函數最值來求解.

三、

型

特點是一個分式，分子、分母分別會有正、余弦的一次式.求解策略1：利用sin x和cos x的有界性.

求解策略2：看成直線的斜率.

解法2：設A（2，2），P（cos x，sin x），則

即kPA為過A、P兩點的斜率.所以要求函數的最大值，只需求直線PA的斜率kPA的最大值即可.

由sin2x+cos2x=1，得P（cosx，sinx）在單位圓上.

因為直線PA的方程為y=kPA（x-2）+2，即kPAx-y+2-2kPA=0.

根據圖像，直線PA與單位圓相切時，斜率kPA取得最值.

四、含有sin x與cos x的和與積型

特點是含有或經過化簡整理后同時出現sinx+cosx與sinxcosx的式子.

求解策略：利用（sin x+cos x）2=1+2sin xcos x進行轉化，變成二次函數的問題.

五、y=sin xcos 2x型

特點是關于sin x、cos x的三次式（cos 2x可化為關于cos x的二次式）.

求解策略：化為多項式函數，利用導數法.

例5 已知x∈［0，π］，求函數y=（cos 2x+1）sin x的最大值.

解：y=（cos 2x+1）sin x=2cos2xsin x

=2（1-sin2x）sin x=-2sin3x+2sin x.

令t=sin x，則y=-2t3+2t.

求三角函數的最值，要仔細觀察函數的特征，聯系已有的函數知識，采用正確的策略把陌生的問題轉化為熟悉的問題，這也是解決問題的一般策略.