探究一道課本題 推廣求解高考題

☉廣東省廣州市從化中學 楊仁寬（特級教師）

在新課程人教A版數學必修1的第35頁，有這樣1道例題：

初看此題，平淡無奇，學后常會置之不理！若從多方面進行思考，以多角度進行探究，適當變式并推廣，就既能發掘此例題潛藏的重要性質，又能發揮其廣泛的應用價值.

一、課本題的變式

新課程教材以此題為例，示范出了判斷函數奇偶性的方法與步驟.從研究此函數的性質考慮，就有下列變式題.

（1）求出它的定義域；

（2）判斷它的奇偶性；

（3）探討它的單調性；

（4）如何畫出它的圖像？

（5）此函數的圖像有何性質？

（6）你會用幾種方法求出它的值域？

解：（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）.

圖1

（2）?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），由f（-x）=-f（x），知f（x）是奇函數.

（3）用函數單調性的定義或求導數的方法，可得其單調遞減區間是［-1，0）和（0，1］，單調遞增區間是（-∞，-1）和（1，+∞）.

（4）先用描點法，畫出y=f（x）在（0，+∞）上的圖像，由奇函數

圖像的對稱性，可畫出y=f（x）的圖像（如圖1所示）.

（5）此函數的圖像關于原點對稱.

（6）求此函數的值域，主要有以下方法.

解法1（圖像法）：由畫y=f（x）的圖像可知此函數的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

解法2（判別式法）：設y=f（x），則在函數的定義域內，原式化為：x2-yx+1=0，由x∈R+∪R-，得Δ=y2-4≥0，解得y≥2或y≤-2，

原函數的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

解法3（單調性法）：當x>0時，［f（x）］min=f（1）=2；當x<0時，［f（x）］max=f（-1）=-2.

原函數的值域是（-∞，-2］∪［2，+∞）.

二、課本題的推廣

利用坐標平移或分類討論等方法，可以對原課本中的題作進一步的推廣，除了研究其單調性之外，還可以研究推廣命題的對稱性、值域等.

三、應用舉例

原課本中的題及其推廣，在各類考試中，有著廣泛的應用，限于篇幅，僅舉近年的3道高考題為例.

（1）用a表示出b、c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；

評注：此題以雙鉤函數為背景，將函數、不等式、數列及其求和等有機地融為一體，證明的關鍵在于利用雙鉤函數的性質，觀察結構特點，構造對數函數，賦以變量之值，借助對數的運算性質裂項求和，后續的適度放縮，已是水到渠成了！

例3（2008年寧夏、海南理科壓軸題）設函數f（x）=ax+1 x+b（a、b∈Z）的圖像在點（2，f（2））處的切線方程為y－3=0.

（1）求y=f（x）的表達式；

（2）證明：函數y=f（x）的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（3）證明：曲線y=f（x）上任意一點處的切線與直線x=1和直線y=x所圍成圖形的面積是定值，并求出此定值.

若考慮例3的一般情形，可以得到如下結論.

（1）曲線y=f（x）是以直線x=0和y=ax為漸近線、以原點為中心的對稱圖形；

（2）曲線上任意一點處的切線與兩漸近線所圍成的三角形的面積是定值，其值為2|b|；

（3）若曲線上任意一點D處的切線與兩漸近線分別交于A、B兩點，則D為線段AB的中點；

（4）若直線l與兩漸近線分別相交于M、N兩點，與曲線相交于P、Q兩點，則|MP|=|NQ|.

（1）曲線y=f（x）是以直線x=c和x=a（x－c）+d為漸近線、以（c，d）為中心的對稱圖形；

（2）曲線上任意一點的切線與兩漸近線所圍成三角形的面積是定值，其值為2|b|；

（3）若曲線上任意一點D處的切線與兩漸近線分別交于A、B兩點，則D為線段AB的中點；

（4）若直線l與兩漸近線分別相交于M、N兩點，與曲線相交于P、Q兩點，則|MP|=|NQ|.

結論1與結論2的證明，詳見參考文獻3，此處從略.

1.楊仁寬.深挖例題的潛能，踐行探究式學習.中學數學［J］，2010（6）.

2.楊仁寬.繼承優良傳統，探索命題創新——2011年廣東高考數學試卷分析.高中數理化［J］，2011（7下）.

3.鄒生書.兩道高考壓軸題的統一引申與推廣.中學數學月刊［J］，2011（9）.