一道2011高考題的解法探 究與推 廣

☉江蘇省常熟中學(xué) 朱峰

題目 （2011年重慶高考理科卷第7題）設(shè)a>0，b>0，若a+b=2，則的最小值為（ ）.

這道試題從它的問題背景和難易程度來看，顯然相當(dāng)平凡，不見得有多大的“新奇”之處，但剖析其內(nèi)涵，挖掘其內(nèi)在的功能，可引發(fā)眾多的思考，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談?wù)勗囶}給我們的思考，供大家參考.

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程與解題緊密聯(lián)系的，而數(shù)學(xué)能力的提高在于解題的質(zhì)量而不是解題的數(shù)量.所以要重在研究解題的方向和策略.要善于從題目的條件和求解（求證）的過程中提取有用的信息，作用于記憶系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提取相關(guān)的知識，推動題目信息的延伸，歸結(jié)到某個確定的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而形成一個解題的行動序列，這就是解題方向.題目信息與不同數(shù)學(xué)知識的結(jié)合，可能會形成多個解題方向.

一、代換

二、構(gòu)造

點評：巧妙地構(gòu)造定必分點坐標(biāo)公式，引入?yún)?shù)λ，再利用基本不等式求解.

三、轉(zhuǎn)化湊項

點評：將變量x轉(zhuǎn)化成y，進(jìn)行湊項，使積為定值，利用基本不等式求解.

四、三角換元

點評：根據(jù)已知條件，通過三角恒等變形，創(chuàng)造基本不等式成立的條件，從而進(jìn)行解題.

五、引入?yún)?shù)（加0法）

點評：引入?yún)?shù)m，巧妙地構(gòu)造基本不等式進(jìn)行求解.

六、構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式

點評：巧妙地構(gòu)造關(guān)于b的一元二次方程，由根的判別式求解.

七、利用平均數(shù)代換，構(gòu)造方程

點評：利用平均數(shù)代換，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的方程，利用根的判別式進(jìn)行求解.

反思是對所解的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行發(fā)散性擴(kuò)展或是收斂性的概括.發(fā)散性擴(kuò)展是指改變習(xí)題條件、擴(kuò)大外延的一題多變的思考，培養(yǎng)發(fā)散性思維；而收斂性的概括則是對所解的題目從結(jié)構(gòu)上和思路上進(jìn)行抽象、概括和歸納，以便形成更高層次上的題型模式和數(shù)學(xué)思維模式.因此，要求教師對習(xí)題、試題進(jìn)行“深加工”，重視對其的挖掘、引申和改編，進(jìn)行創(chuàng)造性的設(shè)計.

應(yīng)用某些習(xí)題的結(jié)論和拓廣所得的新知識解決問題，不僅能使知識深化，而且也有可能使解題方法巧妙、簡捷，從而使學(xué)生體會創(chuàng)造的美感，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情，培養(yǎng)自覺、自主的創(chuàng)造品質(zhì).

1.求二元一次式的最值.

2.求二元二次式的最值.

例2 已知x、y滿足x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最值.

4.求二元分式函數(shù)的最值.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若老師有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生研究一些典型習(xí)題、考題，揭示其豐富的內(nèi)涵，則不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，而且對于培養(yǎng)應(yīng)變能力、開拓思路、活躍思維都是有益的.