平面向量數量積常見考點剖析

☉江蘇省東臺市三倉中學 劉加元

向量是解決數學問題的重要工具，而數量積又是向量內容的重點，所以數量積是高考考查的熱點，以基礎題和中檔題為主，現以2011年高考題為例說明如下.

一、求數量積

例1 已知兩個單位向量e1、e2的夾角為，若向量b=e-112e2，b2=3e1+4e2，則b1·b2=_________.

解：b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，則b1·b2=（e1-2e2）·（3e1+4e2）=3e12-2e1·e2-8e22.又因為e1，e2為單位向量，其夾角為，所以

評注：本題考查平面向量知識，重點考查向量數量積的運算，以及簡單的計算能力.

A.1 B.2 C.3 D.4

解：a+b=（1，k）+（2，2）=（3，k+2）.

由a+b與a共線，得k+2-3k=0，解得k=1，則a·b=（1，1）·（2，2）=4.應選D.

評注：本題考查向量共線、向量數量積的坐標運算及簡單的運算求解能力.

二、求向量的模或模的最值

例3 已知單位向量e1、e2的夾角為60°，則|2e1-e2|=__________.

評注：本題主要考查向量的模、數量積的運算.

例4 若a、b、c均為單位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，則|a+b-c|的最大值為（ ）.

解：由a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，得-a·c-b·c≤-c2=-1.

官修史書往往借對前一個朝代的總結來確立政權合法性的手段。薛居正等人所修的 《舊五代史》由于是奉敕所修的正史，代表官方的立場，雖然還是肯定了馮道的忠于職守，也不吝嗇對其私德作出正面的評價，這很有可能與參與修史之人多經歷過五代亂世有關；但還要顧忌到對社會風氣的影響，用忠孝節義的標準批評一番。

|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3+2-（a·c-b·c）≤3-2=1，故|a+b-c|的最小值為1.應選B.

評注：本題主要考查向量的數量積及向量模的運算，難度較大.

三、求向量的夾角或夾角的范圍

例5 已知|a|=|b|=2，（a+2b）·（a-b）=-2，則a與b的夾角為__________.

解：由已知條件（a+2b）·（a-b）=-2，得：|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cosθ-2×4=-2，得

評注：本題考查向量的數量積運算，以及向量的夾角公式，稍有難度.

例6 若平面向量α、β滿足|α|=1，|β|≤1，且以向量α、β為鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是_________.

評注：本題考查平面向量的基礎知識，要注意向量夾角的取值范圍，難度適中.

四、垂直問題

例7 已知a與b為兩個不共線的單位向量，K為實數，若向量a+b與向量Ka-b垂直，則K=_________.

解：由題意知（a+b）·（Ka-b）=0，即K+（K-1）a·b-1=0，所以（K-1）a·b=1-K.因為a與b不共線，所以K-1=0，即K=1.

評注：本題考查向量的數量積運算及向量互相垂直的條件的應用，難度適中.

五、綜合交匯

評注：本題考查向量的線性運算和數量積運算，主要考查學生的運算能力及利用數形結合思想解決問題的能力.