柯西不等式在解析幾何中的應用

☉湖北省襄陽市第一中學 黃 濤 王 勇（特級教師）

柯西不等式具有對稱和諧的結構，應用的關鍵在于抓住問題的結構特征，找準解題的正確方向，合理地變形、巧妙地構造.作為新課程的選修內容，柯西不等式（簡記為“方和積不小于積和方”）在數學的多個領域都有著廣泛的應用，不僅在代數方面能夠幫助我們解決問題，而且在解決解析幾何問題時也給我們帶來極大的方便.下面分類例析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

一、研究最值問題

圖1

例1 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形AOB的一直角邊為1，在此三角形內任取點P，過P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點的三個三角形（圖中陰影部分），求這三個三角形的面積和的最小值以及達到最小值時P點的位置.

分析：此題需要設出P點坐標，并用其表示出三個三角形的面積之和，再利用柯西不等式求最值.

解析：由題意可知，AB所在直線的方程為x+y=1，設P點坐標為P（xP，yP），則以P為公共頂點的三個三角形的面積和為

評注：解此題的關鍵是用P點的坐標表示出三個三角形的面積.觀察圖形，可以看出：靠近x軸的等腰直角三角形的直角邊長為yP，靠近y軸的等腰直角三角形的直角邊長為xP，靠近斜邊的等腰直角三角形的直角邊長為1-xP-yP.

例2 試用柯西不等式推導平面上點到直線的距離公式.

解析：已知點P1（x0，y0）及直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）.設點P2（x1，y1） 是直線l上的任意一點，則Ax1+By1+C=0，①|P1P2|=

P1、P2兩點間距離|P1P2|的最小值就是點P1到直線l的距離，下面求|P1P2|的最小值.

根據柯西不等式，得：

將①、②代入上式，得：

當且僅當A（y0-y1）=B（x0-x1），即P1P2⊥l時，③式取等號.

故點P1（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式為

評注：本題通過利用柯西不等式求兩點間距離的最小值而推導出點到直線的距離公式，思維簡約，過程簡捷.

因為（x-3）2+（y-3）2=6，所以6（k2+1）≥（3-3k）2，即k2-6k+1≤0，解得

評注：本題解法很多，其中利用柯西不等式求解如同神來之筆，值得細細品味和充分借鑒.

例4 設橢圓中心在坐標原點，A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k>0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.求四邊形AEBF面積的最大值.

設點F（x，y）（x>0），所以四邊形AEBF的面積S=2（S△OBF+S△OAF）=x+2y.

評注：本題用到柯西不等式的變形公式：設a1、a2、…、an為實數，b1、b2、…、bn為正數，則當且時取等號.此舉大大降低了問題的難度，達到了化難為易、化繁為簡、化陌生為熟悉的目的.

二、界定范圍問題

由柯西不等式，得：

評注：本題利用柯西不等式，結合cos2α+sin2α=1這一條件，輕車熟路的幾步代數推理，就使問題迎刃而解了.

解析：易知橢圓與x軸、y軸的正半軸的交點分別為M（a+1，0）、N（0，a-1）.

故|MN|可以小于2a.

評注：本題通過利用柯西不等式界定|MN|的取值范圍而解決問題，收到了化難為易、化繁為簡、一招制勝之奇效.

例7 求使直線xcosθ+ysinθ=2和橢圓x2+3y2=6有公共點的θ的取值范圍（0≤θ≤π）.

分析：此題為直線與圓錐曲線的位置關系問題，通常的解法是建立方程組，消元，利用判別式來解，這種方法運算量較大，下面我們通過構造柯西不等式求解.

解析：由柯西不等式，得：

評注：由于直線方程是關于x，y的一次式，而橢圓的方程是關于x，y的二次式，這為構造柯西不等式提供了可能.變形時要調整系數以滿足曲線方程中的形式.

三、破解相切問題

分析：利用柯西不等式解決直線和圓錐曲線的位置關系問題，可以減小計算量，增強直觀性，是十分有效的好方法.

解析：設直線方程為Ax+By+C=0，由經過點P（5，1）得C=-（5A+B）.

于是直線方程可表示為A（x-2）+B（y+3）=3A+4B.

由柯西不等式，得：

直線與橢圓相切時不等式取等號，即（3A+4B）2=9A2+4B2，解得B=0或B=-2A，所以要求的切線方程為x-5=0或x-2y-3=0.

評注：拆、湊、配是應用柯西不等式解題的過程中對式子變形的主要手段，敬請同學們通過本例去體會方法，領悟技巧.

例9 已知直線y=（1-x）tanθ與雙曲線-x2+y2cos2θ=1相切求切線方程和切點坐標.

分析：本題直接應用直線與圓錐曲線的位置關系求解比較繁雜，而應用柯西不等式比較直觀，簡單明了.

解析：由柯西不等式，得：

所以切線方程為y=x-1或y=1-x，切點坐標為（-1，±2）.

評注：直線與圓錐曲線的相切問題一直是解析幾何中的重點和難點，用判別式法求解運算量大，易出錯.而柯西不等式為我們解決這類問題提供了簡潔而有力的方法.