發(fā)散式教學(xué)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的有效嘗試

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué)陳建清

發(fā)散式教學(xué)，是根據(jù)學(xué)生已掌握的知識信息，從不同角度、沿著不同的方向去思考問題；多層次、多角度、全方位地重新組合記憶系統(tǒng)中的信息，達(dá)到解決新的問題的教學(xué)形式.

高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的目的不僅是讓學(xué)生掌握已學(xué)的公理、定理，更重要的是掌握科學(xué)的思維方式、方法.培養(yǎng)和拓展學(xué)生的發(fā)散思維能力，對提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著舉足輕重的作用.怎樣培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維呢？概括地說，要為學(xué)生提供展示發(fā)散性思維的機(jī)會，安排能激勵學(xué)生發(fā)散性思維的環(huán)境，逐步培養(yǎng)學(xué)生廣范圍、多角度地思考問題和解決問題的習(xí)慣.下面結(jié)合實(shí)例，談?wù)勛髡咴跀?shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的一些做法.

一、通過經(jīng)典例題的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的思維的變通性

經(jīng)典例題是教師教學(xué)、同行研究的多年積累，對學(xué)生學(xué)習(xí)還是有一定的指導(dǎo)作用，教學(xué)中還是有“用武之地”，變式教學(xué)的本身也有發(fā)散性和變通性.

例1 （必修2習(xí)題）在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

變式1：在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且AC=BD，求證：四邊形EFGH是菱形.

變式2： 在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形？

變式3：在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，AC=6，BD=8，求EG2+FH2的值.

變式4：在三棱錐A-BCD中，E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，H、G分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，且AH：HD=CG：GD=3：2.判斷EH與FG是否相交，如果相交，交點(diǎn)與BD存在什么樣的位置關(guān)系？

二、通過一題多解的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

一題多解是用多個知識點(diǎn)、多種方法去處理同一數(shù)學(xué)問題.運(yùn)用這樣的教學(xué)方式，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

分析：要使偶次根式有意義，即x2-ax+1≥0在［1，+∞）上恒成立.

解法1：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x2-ax+1在［1，+∞）上的最小值.若最小值大于或等于0，則其函數(shù)值均滿足條件.

解法2：轉(zhuǎn)化為不等式所對應(yīng)的函數(shù)g（x）=x2-ax+1在［1，+∞）上的圖像恒在x軸的上方.

掌握解決同一問題的多種解答方法，既拓展了思維空間，又能培養(yǎng)思維能力，使思維活動得到極大的發(fā)散，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的目的.

三、通過多層次思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

精心設(shè)計(jì)有層次、有坡度、要求明確的練習(xí)題，逐步加深問題的難度，引起學(xué)生思維逐漸加深，促進(jìn)思考各數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若f（x）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（3，+∞），求實(shí)數(shù)a的值；

（4）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1］，求實(shí)數(shù)a的值；

（5）若函數(shù)f（x）在（-∞，1］內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題一題多問，5個問題引導(dǎo)學(xué)生將思維活動走向深入，問題難度依次加大，從基本規(guī)律的應(yīng)用到綜合解題，能力要求越來越高，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力好的題組.

解答思路：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，得真數(shù)大于0恒成立即可，即Δ<0.（2）利用對數(shù)函數(shù)的圖像，得真數(shù)要取盡一切正數(shù)，即Δ≥0.（3）利用一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系，得1、3為二次方程x2-2ax+3=0的兩個根.（4）利用函數(shù)值為-1時相對應(yīng)的x的值必須要存在，得只能在二次函數(shù)y=x2-2ax+3的對稱軸處取得.（5）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，別忘了函數(shù)在（-∞，1］處必須有意義.

將一類問題巧妙地設(shè)計(jì)成題組，由淺入深，不需要教師灌輸，學(xué)生通過自己的努力，解決了一系列問題，嘗到成功的喜悅，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的信心，不再一味地害怕較難的數(shù)學(xué)題.因此教師要善于通過設(shè)置低起點(diǎn)、小臺階式的練習(xí)，把學(xué)生的理解逐步引向深入，使數(shù)學(xué)思維能力得到提高.

四、通過逆向思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的求異性

逆向思維屬于發(fā)散性的求異思維，在平時教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生只習(xí)慣于順勢思維，而不習(xí)慣于逆向思維.為此，在引導(dǎo)學(xué)生分析題目時，可以從問題入手，利用逆向思維，推導(dǎo)出解題的思路，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的逆向思維能力.

例4 如圖1，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求證：

（1）BC⊥面PAC；

（2）PB⊥面AMN

圖1

分析：要證PB⊥面AMN，即證PB垂直于面AMN內(nèi)的兩條相交直線，已知AM⊥PB，另一條直線如何找呢？利用逆向思維思考分析：PB⊥面AMN?PB⊥AN?AN⊥面PBC?AN⊥BC，由（1）得AN⊥BC顯然成立，即原命題得證.

本題的分析過程表明，某些問題既可正向思考也可反向推理，而所用到的定理、公理又都具有因果關(guān)系，因此在解題中可靈活運(yùn)用已學(xué)知識進(jìn)行逆向思維，從結(jié)論反推到條件，從結(jié)果逆推尋找結(jié)論成立的充分條件，對解決問題有很大的好處，可培養(yǎng)學(xué)生的逆向發(fā)散思維，有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

五、通過知識的遷移訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的遷移性

思維的正遷移就是利用已有知識解決新的問題，從問題出發(fā)，聯(lián)想與問題有關(guān)的所有知識，去分析問題、解決問題，使知識在遷移中發(fā)散，在發(fā)散中又促進(jìn)了知識的正遷移，從而優(yōu)化思維發(fā)展，提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

分析：這是一道高考題，對考生的綜合要求比較高.學(xué)生在看到這種比較復(fù)雜的問題時有排斥心理，因?yàn)檫@類問題必須用多種知識、多種數(shù)學(xué)方法去解決.

解決這道題的關(guān)鍵是善于將我們所學(xué)的與此題相關(guān)的知識遷移過來，本題中在已知條件部分，可以遷移分段函數(shù)知識、函數(shù)圖像間交點(diǎn)個數(shù)問題的處理方法，將純粹的代數(shù)問題遷移到用幾何問題（數(shù)形結(jié)合）去解決.為此，在解決該問題時，先進(jìn)行審題，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考以下幾個問題：

（1）畫出函數(shù)y=f（x）的圖像；

（2）討論直線y=m（m∈R）與y=f（x）的圖像的交點(diǎn)的個數(shù)；

（3）適時提出f2（x）+bf（x）+c=0，它是以f（x）為整體的一元二次方程，f（x）最多只能取兩個值，結(jié)合圖像，要使原方程有七個不同的實(shí)數(shù)解，f（x）只能取哪些值？

通過以上學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的知識，使學(xué)生能順利地解決問題，提高了教學(xué)效果，促使學(xué)生正遷移的形成，學(xué)會如何分層次地思考問題，更重要的是開拓了學(xué)生的眼界，豐富了經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)方法，為學(xué)生思考和解決綜合問題建立一個可行的思考方法.

綜上所述，教學(xué)活動的主體——對學(xué)生解題方法的指導(dǎo)，是激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一個重要環(huán)節(jié)之一.在解題中，不僅要使學(xué)生明確解什么，如何解，還要給學(xué)生一個自由發(fā)揮的思考空間，發(fā)散思維的廣度，提出自己的新見解.通過發(fā)散思維的訓(xùn)練，使學(xué)生的思維水平上升到一個新的臺階，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)解題的思維方式和方法，提高了學(xué)生的思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了由知識向能力的升華.