正弦定理惹的禍?

☉湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系 周宇劍

一、問題的引出

剛學(xué)完正弦定理，小明先后做了以下幾道題：

小明第（1）題填了60°，同桌說(shuō)他錯(cuò)了.小明想了想，發(fā)現(xiàn)自己丟掉了和60°正弦值相等的120°角.

小明接著做第（2）題時(shí)，很得意地填了30°或150°.但同桌又說(shuō)他錯(cuò)了.小明疑惑了，這次考慮到和30°正弦值相等的150°角，怎么又錯(cuò)了呀？仔細(xì)一想，發(fā)現(xiàn)150°不符合題目要求.

小明更仔細(xì)地計(jì)算完第（3）題，說(shuō)“這下總該對(duì)了吧？”，與同桌一對(duì)照，兩人的答案不同，仔細(xì)對(duì)比了一下，求c邊的結(jié)果一樣，之后的解法不一樣，他倆的具體解法如下.

故B=75°或105°.

當(dāng)B=75°時(shí)，A=180°-B-C=75°.

當(dāng)B=105°時(shí)，A=180°-B-C=45°.

仔細(xì)看完解題過(guò)程和步驟后，小明和同桌都茫然了，真看不出來(lái)到底誰(shuí)的解法有問題？小明拍拍腦袋說(shuō)：“哎，都是正弦定理惹的禍！到底怎么做才能對(duì)??？”

二、問題探究及解決策略

對(duì)剛學(xué)完正弦定理的學(xué)生來(lái)說(shuō)，很容易出現(xiàn)上述錯(cuò)誤.這幾道題目涉及到已知兩邊和一角解三角形的問題.這類問題又分為兩種類型：已知兩邊及一邊的對(duì)角和已知兩邊及它們的夾角.現(xiàn)就這兩種類型的問題分析如下：

1.已知兩邊及一邊的對(duì)角.

在△ABC中，已知BC=a，AC=b，A（0°＜A＜180°），求B.

該問題需分三種情況討論.

（1）當(dāng)a>b時(shí)（已知角的對(duì)邊大于所求角的對(duì)邊）.

（2）當(dāng)a=b時(shí)（兩已知邊相等）.

若90°≤A＜180°，由B=A，知原題無(wú)解；若0°＜A＜90°，由B=A，知原題有一解.（3）當(dāng)a＜b時(shí)（已知角的對(duì)邊小于所求角的對(duì)邊）.

教學(xué)過(guò)程中要提醒學(xué)生在實(shí)際解題中要注意判別已知條件中的兩邊之間的關(guān)系，依情況和是否具有實(shí)際意義而解.

2.已知兩邊及它們的夾角.

在△ABC中，已知BC=a，AC=b，C（設(shè)a＜b，0°＜C＜180°），求A和B.

這種類型的題目如果按照上種類型用正弦定理來(lái)求角，均要考慮A或B是否為鈍角，如果為鈍角時(shí)又要驗(yàn)證是否有實(shí)際意義，則解題既加大了計(jì)算量，又耽誤時(shí)間.教學(xué)中要幫助學(xué)生理解判斷三角形全等的方法中就有邊角邊（SAS）判定定理，因此，已知兩邊及它們的夾角時(shí)，能夠唯一確定三角形.故此類型必定有唯一解.此類問題的解題思路：

方法1：用余弦定理求A或B（唯一確定解），再用三角形內(nèi)角和定理求出另一角.這種計(jì)算免去了對(duì)所求角是銳角還是鈍角的思考，但計(jì)算量稍微大一點(diǎn).

方法2：用正弦定理求A或B，再用三角形內(nèi)角和定理求出另一角.這種方法計(jì)算量相對(duì)簡(jiǎn)單些，但一些初學(xué)的同學(xué)理不清頭緒，現(xiàn)剖析如下.

（1）當(dāng)90°≤C＜180°時(shí).

此時(shí)，A、B均為銳角，可用正弦定理任意求A或B的值，原題有一解.

（2）當(dāng)0°＜∠C＜90°時(shí).

求出c后，比較a、b、c的值.

若c值最小，即c＜a＜b，則用正弦定理求出a、b中較小邊a所對(duì)的角A，因?yàn)閍＜b，所以A不能為直角或鈍角，原題有一解.

若c值處于中間位置，即a＜c＜b，則A＜C＜B.先用正弦定理求最小邊a所對(duì)的A，由于A最小，故A不能為直角或鈍角，原題有一解.

若c最大，即a＜b＜c，則A＜B＜C.A、B均為銳角，原題有一解.

前面小明與同桌做的第3題表面上解得很好，但都存在問題.在已知條件中包含一個(gè)隱含條件：a＜b，所以，在△ABC中，A＜B.因此，小明的解法中A=135°、B=15°這個(gè)結(jié)果要舍去；小明同桌的解法中A=75°、B=75°這個(gè)結(jié)果要舍去.

已知三角形的兩邊及它們的夾角，求其余兩角的問題解題策略：求出第三邊c的值后，比較三條邊a、b、c的大小，可用正弦定理求出已知邊a與b中較小的邊所對(duì)的角，這個(gè)角就不可能是鈍角或直角，可直接確定該角的值.這樣就避免了用正弦定理時(shí)討論各角是銳角還是鈍角的煩惱.