對(duì)一道函數(shù)絕對(duì)值問(wèn)題的探究

☉江蘇省華羅庚中學(xué) 于亦香

絕對(duì)值問(wèn)題一直都是高考的熱點(diǎn)，其題目類(lèi)型也十分豐富，遇到絕對(duì)值問(wèn)題，我們通常的做法是去絕對(duì)值，或考慮其幾何意義，筆者現(xiàn)就平時(shí)遇到的絕對(duì)值問(wèn)題做如下探究，以期對(duì)讀者有所幫助.

引例 已知f（x）=|x+1|+|x-a|關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，則不等式f（x2-3）

解決這道題目之前我們先來(lái)探究f（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（其中a1

當(dāng)n=1，f（x）的圖像就是將y=x-a1在x軸下方的圖像翻折到x軸上方；

當(dāng)n=2時(shí)，先去絕對(duì)值，故原函數(shù)可化為

根據(jù)以上4種情況的分析，我們歸納出更一般的情形.

結(jié)論：對(duì)于f（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（其中a1

我們回過(guò)頭來(lái)看上文的引例，f（x）=|x+1|+|x-a|的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，根據(jù)圖像，我們發(fā)現(xiàn)x2-3到1的距離一定比x-1到1的距離近，且x-1不在［-1，3］之間，所以，我們可以得到以下關(guān)系：

本題中f（x）的圖像正是上述探究中n=2的情形，有了這個(gè)結(jié)論作鋪墊，題目解答就簡(jiǎn)單多了，如果再多一些絕對(duì)值呢？

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2007|，且f（a2-3a+2）=f（a-1），則a的范圍是_________.

該題是n為偶數(shù)的情形，畫(huà)出的圖像一定是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的，所以有a2-3a+2=a-1或者

對(duì)于函數(shù)f（x）=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|，我們還可以從絕對(duì)值的幾何意義入手，如當(dāng)n=2時(shí)，在數(shù)軸上依次取點(diǎn)A、B，以表示數(shù)a1、a2，f（x）表示數(shù)軸上一點(diǎn)P到A、B的距離之和.當(dāng)P點(diǎn)在以A、B為端點(diǎn)的線(xiàn)段上時(shí)，PA+PB最小，為a2-a1；當(dāng)n=3時(shí)，在數(shù)軸上依次取點(diǎn)A、B、C，以表示數(shù)a1、a2、a3，f（x）表示數(shù)軸上一點(diǎn)P到A、B、C的距離之和.當(dāng)該點(diǎn)在以B處時(shí)，和最小，為a3-a1；當(dāng)n=4時(shí)，在數(shù)軸上依次取點(diǎn)A、B、C、D，以表示數(shù)a1、a2、a3、a4，f（x）表示數(shù)軸上一點(diǎn)P到A、B、C、D的距離之和，當(dāng)該點(diǎn)在以B、C為端點(diǎn)的線(xiàn)段上時(shí)，該和最小，為a4-a1+a3-a2.

利用絕對(duì)值的幾何意義解題，顯然可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，尤其對(duì)解決填空題很有幫助.

例1 |x-4|+|x-2|+|x-1|+|x|≥a對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，則a的最大可能值為_(kāi)________.

解：解這道題時(shí)如果去絕對(duì)值，肯定浪費(fèi)大家很多時(shí)間，如果我們考慮幾何意義，那很快得出|x-4|+|x-2|+|x-1|+|x|的最小值為5，所以a≤5，即答案為5.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），定義d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|.已知點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)M為直線(xiàn)x-2y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則使d（B，M）取最小值時(shí)的點(diǎn)M的坐標(biāo)是___________.

以上幾道題似乎是圍繞著結(jié)論而設(shè)計(jì)的，因此只要我們吃透結(jié)論，那么很多問(wèn)題我們解決起來(lái)就非常容易了.筆者寫(xiě)這篇文章不是要給出一個(gè)結(jié)論，而是希望同學(xué)們對(duì)平時(shí)遇到的問(wèn)題不能做過(guò)或者會(huì)做就扔，我們要做一個(gè)有心人，收集相關(guān)題目，深入探究，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，這對(duì)于我們提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力非常有用.