巧構(gòu)反比例函數(shù)圖像探究函數(shù)最值型問題的新解法

☉上海市崇明中學 徐智愚（特級教師）

徐智愚，1964年12月出生，中學高級教師，上海市特級教師，上海市數(shù)學學科中學高級教師評審委員會成員，上海市普教系統(tǒng)數(shù)學名師培養(yǎng)基地導師.至今在《數(shù)學通報》等數(shù)學雜志上發(fā)表文章五十余篇.

有人問陳省身先生：“什么是數(shù)學？”陳省身先生回答說：“數(shù)學的對象是打‘引號’的數(shù)與形”.不少代數(shù)（函數(shù)）問題常有其幾何的背景，若能予以充分揭示，利用其幾何意義、圖形性質(zhì)，常能獲得直觀、獨特、巧妙的新解法.

（1）當a=1、b=2時，求f（x）的最小值；

（2）若f（xa）≥2m-1對任意0

（3）設(shè)k、c>0，當a=k2、b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x），當a=（k+c）2、b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x），求證

（2011年12月上海市七寶中學等十三校市重點中學高三數(shù)學聯(lián)考壓軸題）

標準答案很復雜，現(xiàn)僅將第三問的標準答案抄錄如下.

圖1

這時候，一些同學竊竊私語，一個同學問：“雙曲線圖像和反比例函數(shù)圖像有什么關(guān)系呢？”不料此同學的提問引起了較多同學的共鳴，“一石”卷起“千重浪”，學生們分成各個小組，開始討論此同學的問題，但是討論的“焦點”已經(jīng)集中在“雙曲線圖像和反比例函數(shù)圖像的關(guān)系”這個問題的內(nèi)核上.

圖2

我很遺憾，因為我沒有完成預定的教學計劃；但我更高興，因為我的學生的探究能力又有了新的提高！

在一次總復習課上，我布置學生做這樣的練習.

我欣喜地發(fā)現(xiàn)，學生發(fā)現(xiàn)了較多我備課時沒有發(fā)現(xiàn)的新方法，其中就包括巧構(gòu)反比例函數(shù)圖像解決此題的新解法！

圖3

在另一節(jié)課上，當我向?qū)W生介紹了如下全國高考題的幾種常規(guī)的方法后，幾個同學到辦公室找我，他們又發(fā)現(xiàn)了幾個與我課上所講不一樣的解法，其中就有一個新的“數(shù)形結(jié)合”解法：巧妙構(gòu)造反比例圖像解之！我在課上及時進行了介紹，取得了很好的教學效果！

x>0，y>0，方程（*）的圖像是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的部分（如圖4）.

當直線x+y=t與雙曲線右上支相切時，t即為所求最小值.由反比例函數(shù)圖像的對稱性知切點應(yīng)在過中心（a，b）并與直線x+y=t相垂直的直線x-a=y-b上.

圖4

顧泠沅先生曾經(jīng)說：“當今，學生的獨立分析和探究能力常常是被窒息的.雖然課程改革以來，我們鼓勵學生探究，但是實際情況是被教師所替代.”

法國學者讓·托馬斯說：“教師的態(tài)度最終決定著革新的成敗.”新課程改革是否順利的關(guān)鍵取決于教師的教育觀念的更新.因此，在高三復習課中，我們提倡把足夠的時間留給學生思考；數(shù)學探究反對滿堂灌，同時更反對機械重復學習，應(yīng)該把足夠的時間留給學生.我想：若教師平時上課時能經(jīng)常注意“數(shù)形相融”，激發(fā)學生們的創(chuàng)造性“火花”，這對學生探究和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)和提高是不無裨益的.

1.顧泠沅主編，邵光華著.《作為教育任務(wù)的數(shù)學思想方法》.上海，上海世紀出版股份有限公司，上海教育出版社，2009年.

2.郭海軍.例談反比例函數(shù)中的幾個不變性問題.《中學數(shù)學》.2009，12.

3.王遠征.與反比例函數(shù)的圖像有關(guān)的面積問題.《中學數(shù)學》.2009，12.

4.徐智愚.思維破定勢，反面更簡捷，不用“數(shù)歸法”——簡析兩道高三數(shù)列綜合題的解法.《數(shù)學教學》.2008，7.

5.徐智愚.充分發(fā)揮課本例習題在探究性思維訓練中的作用——新教材《行列式》教學扎記.《中學數(shù)學》.2008，4.