從一道高考題談含參數(shù)不等式解題策略

☉浙江省寧波市第四中學(xué) 邵春霞

含參數(shù)不等式恒成立問題和存在性問題是近幾年高考的一個熱門題型，它以“參數(shù)處理”為主要特征，以導(dǎo)數(shù)為工具，往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等有關(guān)，在解決這類問題的過程中涉及了“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”等數(shù)學(xué)思想.含參數(shù)不等式求參數(shù)取值范圍是一類常見的探索性問題，主要是求恒成立問題或存在性問題中的參數(shù)范圍.解決這類問題，主要是運用等價轉(zhuǎn)化思想，把復(fù)雜的，不熟悉不規(guī)范的問題轉(zhuǎn)化熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題.下面就一道含參數(shù)不等式恒成立問題來談?wù)勅绾螌λM(jìn)行橫向拓展、縱向引申，達(dá)到優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)、掌握思想方法、培養(yǎng)思維能力的目的.

一、考題引入，橫向拓展

例1（2011年浙江高考第22題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2lnx，a∈R.

（1）若x=e為y=f（x）的極值點，求實數(shù)a；

（2）求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立.

注：e為自然對數(shù)的底數(shù).

橫向拓展是指從不同的角度，進(jìn)行一題多解，用不同的知識和方法處理同一問題，使得題目所涉及的內(nèi)容拓展到其他分支，溝通它們的聯(lián)系，拓寬學(xué)生的思路，培養(yǎng)思維的靈活性.

解：（1）略.

（2）解法1：

①當(dāng)0

②當(dāng)1

又h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點，記此零點為x0，則10；當(dāng)x∈（x0，a）時，f′（x）<0；當(dāng)x∈（a，+∞）時，f′（x）>0.即f（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞增，在（x0，a）內(nèi)單調(diào)遞減，在（a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

所 以 要 使 f（x）≤4e2對 x∈（1，3e］ 恒 成 立 ， 只 要

將（3）代入（1）得4x02ln3x0≤4e2.又x0>1，注意到函數(shù)x2ln3x在［1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故1

解法二：

①當(dāng)0

②當(dāng)10，故有f（x）=（x-a）2lnx≤4e2.可解得

即g（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，3e］上單調(diào)遞增.

點評：本題的第一小題入手簡單，容易得分，第二小題是典型的含參數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，注意到在x∈（0，1］時不等式恒成立，因而等價于x∈（1，3e］時不等式恒成立，因lnx>0，所以可參數(shù)分離，通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值；體現(xiàn)了求參數(shù)取值范圍的基本方法和利用導(dǎo)數(shù)解決問題的基本方法.在上述兩種解法中參數(shù)分離在其中起了關(guān)鍵作用.這種方法可揭示本題的實質(zhì)：含參數(shù)不等式恒成立問題可等價轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的最值問題.一般有：

運用參數(shù)分離時，若能把不等式中的參數(shù)a與未知數(shù)x完全分離出來，得到不等式a>f（x）或a

（1）af（x）恒成立?a>f（x）max.

運用參數(shù)分離時，若不能把不等式中的參數(shù)a與未知數(shù)x完全分離出來，得到的是一個函數(shù)式g（a），通常可以整體處理.

（1）f（x）f（x）max.

（2）f（x）>g（a）（a為參數(shù)）恒成立?g（a）

二、考題鏈接，縱向引申

縱向引申主要是指改變例題的條件和結(jié)論，步步深入，層層推進(jìn)，抓住例題的典型性與可塑性，通過變形改造，對原題進(jìn)行引申和推廣，從而達(dá)到舉一反三，觸類旁通的功效.

變式1：已知f（x）=7x2－28x－a，g（x）=2x3+4x2－40x（其中a為實數(shù)）：

（1）當(dāng)x∈［－3，3］時，f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

（2）存在x∈［－3，3］，使f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

（3）對任意x1，x2∈［－3，3］，f（x1）≥g（x2）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

（4）若對任意x1∈［－3，3］，總存在x2∈［－3，3］，使得f（x1）≥g（x2）成立，求實數(shù)a的范圍.

（5）若存在x1∈［－3，3］，使得對任意的x2∈［－3，3］，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求實數(shù)a的范圍.

（6）存在x1，x2∈［－3，3］，使f（x1）≥g（x2）成立，求實數(shù)a的范圍.

（7）若對任意x1∈［－3，3］，總存在x2∈［－3，3］，使得y=f（x）的圖像位于y=g（x）圖像的上方，求實數(shù)a的范圍.

上述七個問題中給出的條件形同質(zhì)別，涉及含參數(shù)不等式的存在性或恒成立問題，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為含參數(shù)函數(shù)的最值討論.通過對上述問題的研究，我們通過類比可以概括出以下結(jié)論：

結(jié)論1：?x∈D，f（x）>g（x）恒成立?［f（x）－g（x）］min>0.

結(jié)論2：?x∈D，使得f（x）>g（x）成立?［f（x）－g（x）］max>0.

結(jié)論3：?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2）恒成立?f（x）min>g（x）max.

結(jié)論4：?x1∈D，?x2∈D，使得f（x1）>g（x2）成立?f（x）min>g（x）min.

結(jié)論5：?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2）恒成立?f（x）max>g（x）max.

結(jié)論6：?x1∈D，?x2∈D，使得f（x1）>g（x2）成立?f（x）max>g（x）min.

結(jié)論7：f（x）不過第二象限?當(dāng)x≤0時，f（x）≤0恒成立?f（x）min≤0.

結(jié)論8：f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方?f（x）－g（x）>0恒成立?［f（x）－g（x）］min>0.

例2（2009年浙江理科22）已知函數(shù)f（x）=x3－（k2－k+1）x2+5x－2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.

（1）設(shè)函數(shù)p（x）=f（x）+g（x）.若p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，求k的取值范圍.

解：（1）略.

（2）當(dāng)x<0時有q′（x）=f′（x）=3x2－2（k2－k+1）x+5；

當(dāng)x>0時有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，因為當(dāng)k=0時不合題意，因此k≠0.

下面討論k≠0的情形，記A=（k，+∞），B=（5，+∞）（1）當(dāng)x1>0時，q′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2<0且A?B，因此有k≥5，（2）當(dāng)x1<0時，q′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2>0且A?B，因此k≤5，綜合（1）（2）得k=5.

當(dāng)k=5時A=B，則?x1<0，q′（x1）∈B=A，即?x2>0，使得q′（x2）=q′（x1）成立，因為q′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x2的值是唯一的.

同理，?x1<0，即存在唯一的非零實數(shù)x2（x2≠x1），要使q′（x2）=q′（x1）成立，所以k=5滿足題意.

點評：上述兩個例題是典型的含參數(shù)不等式的存在性問題，一般從兩個函數(shù)的值域關(guān)系的問題著手，由題設(shè)中的 “存在”、“任意”判斷兩個函數(shù)的值域之間的關(guān)系，從而求得參數(shù)的范圍.一般有如下結(jié)論：

結(jié)論9：?x1∈D，?x2∈D，使得f（x1）=g（x2）成立?f（x）的值域A?g（x）的值域B.

結(jié)論10：?a1，a2，…，ak，ak+1∈D，使得g（a1）+g（a2）+…+g（ak）

總之，在求解含參函數(shù)最值時滲透分類討論及構(gòu)造函數(shù)的思想，含參數(shù)不等式問題的解題思路最主要是轉(zhuǎn)化，把難的、復(fù)雜的問題等價轉(zhuǎn)化為簡單容易解決的問題，這也是整個解題過程中較難但又是最關(guān)鍵的一步.雖然求含參數(shù)不等式恒成立問題和存在性問題中的參數(shù)范圍兩種解題方法在實際解題過程中表現(xiàn)不同，但最終實質(zhì)都與求函數(shù)最值是等價的.這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美.