淺談數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的思想方法

☉湖北省浠水縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 饒金華

中考試題涉及眾多知識(shí)點(diǎn)，覆蓋面廣，關(guān)系復(fù)雜，證法靈活，解決這類(lèi)考題需要考生能夠正確地綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)解題思想和方法，以下是中考中幾種常用的解題思想，供大家參考.

一、整體思想

注意力和著眼力放在問(wèn)題的整體上，通過(guò)研究問(wèn)題整體形式和整體結(jié)構(gòu)，進(jìn)而作出整體處理，達(dá)到順利解題的目的.

例1 如圖1所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以單位1為半徑畫(huà)圓，則圖中陰影部分的面積之和為_(kāi)_____個(gè)平方單位.

解：由條件可知圖中每個(gè)扇形的面積不能單獨(dú)求出，因?yàn)椴恢獔A心角的度數(shù).仔細(xì)分析可得n個(gè)扇形的圓心角恰為n邊形的n個(gè)因此，n個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)和為n邊形的外角和.所以陰影部分的面積之和π.

二、化歸思想

化歸思想是一種由陌生向熟悉轉(zhuǎn)化，由未知向已知轉(zhuǎn)化，又非基本問(wèn)題向基本問(wèn)題轉(zhuǎn)化的解題策略.

例2 判斷下列數(shù)3555、4444、5333的大小關(guān)系是______.

分析：直接計(jì)算每個(gè)數(shù)顯然復(fù)雜難以比較，如果將它們化歸為異底數(shù)同次冪的形式，然后比較底數(shù)的大小即可解決問(wèn)題.

解：3555=（35）111=243111，4444=（44）111=256111，5333=（53）111=125111.

即5333＜3555＜4444.

三、分類(lèi)思想

分類(lèi)討論是重要的數(shù)學(xué)思想，解答這類(lèi)題不僅要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，還要求學(xué)生具有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力.在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)中尋求解答的一種解題思想方法.其目的在于克服思維的片面性，防止漏解.

例3 如圖2，在直徑為50cm的圓中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD.求AB與CD間的距離.

分析：由圓的對(duì)稱(chēng)性，可知兩條弦的位置會(huì)出現(xiàn)兩種情況.

圖2

圖3

解：作OE⊥AB，垂足為E，OE交CD于點(diǎn)F.

因?yàn)锳B∥CD，所以O(shè)F⊥CD.

連接OA、OC.

（1）當(dāng)AB和CD位于點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)（圖2），AB與CD間的距離為：

（2）當(dāng)AB和CD位于點(diǎn)O的異側(cè)時(shí)（圖3），AB與CD間的距離為：

所以AB與CD間的距離是8cm或22cm.

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想策略.有關(guān)函數(shù)及其圖像的題目，多數(shù)用數(shù)形結(jié)合思想解答.

圖4

例4 如圖4，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā).以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.

（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（______，______）（用含x的代數(shù)式表示）.

（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值.

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△NPC是一個(gè)等腰三角形？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

解：（1）由題意可知C（0，3），M（x，0），N（4-x，3）.

（2）設(shè)△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4-x，NC邊上的高為，其中0≤x≤4.

（3）如圖5，延長(zhǎng)MP交CB于Q，則有PQ⊥BC.

①若NP=CP.

③若CN=NP，則CN=4-x.

在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2.

圖5

小結(jié)：數(shù)學(xué)思想方法還有很多，比如方程思想，它是指對(duì)所求數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)列方程（組）求解的一種解題思想，是解幾何問(wèn)題的重要策略.這類(lèi)題目很常見(jiàn)，需要同學(xué)們?nèi)ザ嘤^察、多動(dòng)腦、多實(shí)踐.