例談運(yùn)用引申技術(shù)改編初中數(shù)學(xué)試題

◎江蘇省南通市北城中學(xué) 蔡新春

編制數(shù)學(xué)試題是初中數(shù)學(xué)教師的基本技能之一，獨(dú)立編制原創(chuàng)數(shù)學(xué)試題確實(shí)費(fèi)心費(fèi)力，難度較高，但是我們可以借助于一些成題將其適當(dāng)改編成有新意的題目.

羅增儒教授早在2005年《中等數(shù)學(xué)》上談到用引申技術(shù)將成題改編為競(jìng)賽試題.他說：“引申通常解釋為從舊義得出新義.競(jìng)賽命題的引申技術(shù)就是從已知題目出發(fā)，沿縱橫兩個(gè)方向演繹深化得出新題目.”本文借助一些例題淺談如何用引申技術(shù)來改編初中數(shù)學(xué)試題.

一、不改變?cè)}條件，在原題的結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)向縱深研究，開發(fā)新題

圖1

例1 如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，D、E分別是在AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O，求證：（1）OD=OE.（2）AO平分∠BAC.

這是在學(xué)習(xí)等腰三角形時(shí)，許多老師都會(huì)讓學(xué)生練習(xí)的一道題目.如果在此基礎(chǔ)上，我們聯(lián)想到三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，再加上△ADO與△AEO全等，那么很容易得出△ADO、△AEO、△BDO、△CEO這四個(gè)三角形的面積相等，都是△ABC面積的因此，我們可以在原題的基礎(chǔ)上增加第（3）問：求△BOC與△ABC的面積比.

二、在原題的基礎(chǔ)上，再適當(dāng)添加條件，將問題引向深入

圖2

例2 如圖2，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE，DE與BC相交于F點(diǎn)，求證：DF=EF.

這是一經(jīng)典老題，過點(diǎn)D作AC的平行線DG交BC于點(diǎn)G，很容易證得△CEF≌△GDF，從而得到結(jié)論.

如圖3，過邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連PQ交AC邊于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（ ）.

而湖北武漢一地區(qū)則在這題的基礎(chǔ)上做了更深入的開發(fā)：已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，在CB的延長(zhǎng)線上截取BD=PA，PD交AB于點(diǎn)I，PA=nPC.

（3）如圖6，若點(diǎn)P在AC邊的延長(zhǎng)線上，且n=3，其他條件不變，

三、將原來題目中的某些條件從特殊轉(zhuǎn)化為一般，進(jìn)行推廣開發(fā)新題

圖8

例3 如圖7，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段AC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持MQ⊥MP.試探求BP2、PQ2、CQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

這是一道經(jīng)典老題，做完后，我們進(jìn)一步思考，當(dāng)這個(gè)直角三角形不是等腰直角三角形而是一般直角三角形時(shí)（如圖8），這個(gè)結(jié)論是否成立呢？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)結(jié)論是成立的.江蘇省揚(yáng)州市就將按這個(gè)思路改編的題目作為2011年中考?jí)狠S題的最后一問.

四、根據(jù)解題方法的相似，改變?cè)}背景，重新編題

例4 如圖9，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，另有一邊長(zhǎng)超過2的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)在位于點(diǎn)O，并且繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形重合部分的面積是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出它的面積.

此題常用的一種解題方法是利用正方形的性質(zhì)證明△AON與△BOM全等，從而得到四邊形BMON的面積等于△AOB的面積.將原題中的正方形換成等邊三角形后，解題的方法基本不變，因此可以改編成這樣的題目：如圖10，點(diǎn)O是等邊△ABC的角平分線的交點(diǎn)，MON是一個(gè)扇形（OM和ON足夠長(zhǎng)）且∠MON=120°，OM、ON分別與AB、BC交于D、E兩點(diǎn).如果△ABC的面積為S，將扇形MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，扇形MON與△ABC重疊部分的面積是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出它的面積.

同樣利用這種方法，我們可以將例1中等腰三角形換成正方形，改編這樣的新題：如圖11，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，BF與DE相交于點(diǎn)O，求四邊形ABOD與正方形ABCD的面積比.