有心插柳柳成蔭——例談三角形內角和的一種變式推廣和應用

☉江蘇省淮陰中學新城校區 趙惠敏 吳從洋

有心插柳柳成蔭
——例談三角形內角和的一種變式推廣和應用

☉江蘇省淮陰中學新城校區 趙惠敏 吳從洋

七年級數學學習中，學生正式接觸到以圖形語言、符號語言形式呈現的圖形問題，在教學中，一些看似簡單的幾何圖形，如果對它深入研究，充分挖掘，會收到意想不到的收獲，這類題一般都具有典型性、示范性和遷移性，因此具有較高的應用價值.針對這些問題，在教學中盡量采取：定位基礎圖形，突出知識點間的聯系，鼓勵學生運用所學知識，多方位、多角度的思考和解決問題，有助于學生思維的求新求變，下面以一道題為例，作一介紹.

原型 如圖1，AC、BD相交于點O，則∠6+∠5和∠3+∠4相等嗎？為什么？

分析：由三角形內角和等于180°，可以得到∠6+∠5+∠1=∠3+∠4+∠2=180°.又由圖形條件知，對頂角∠1、∠2相等，因此，∠6+∠5=∠3+∠4.

假如AB∥CD，上述方法仍然適用，還可以由AB∥CD得到∠6=∠3，∠5=∠4，從而∠6+∠5=∠3+∠4.這是七年級常見的一道幾何題.也就是說無論AB、CD是否平行，都可以得到∠6+∠5=∠3+∠4.

我們將這種類似的圖形稱為“8”字形，由上面的推理可以得到：“8”字形中除對頂角外的兩個相對的內角和相等.表面看這道題似乎很平常，實際上這個結論在許多題型中有著廣泛的應用.

圖1

一、在求多邊形的內角和中的應用

蘇科版七年級下冊，學生學習到了三角形內角和、外角和、多邊形內角和及外角和等知識，經常會有一些復雜的圖形要求計算內角和的問題，下面筆者例舉幾種常見的復雜圖形，添加輔助線，構造“8”字形，可以迅速解題.

例1 如圖2，試求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和.

圖2

分析：對于復雜及不規則圖形問題，教師通常應引導學生添加輔助線構成規則圖形，以利于求解，此題有多種解法：如構造五角星，兩次運用三角形的外角定理等.筆者主要介紹如何構造“8”字形.聯想到“8”字形中兩個三角形相對兩個內角的和相等，利用這個結論添加輔助線，連接AF，可知∠B+∠D=∠FAD+∠AFB，這樣將6個內角的和轉化為四邊形AFEC的4個內角的和，進而得到結果為360°，而且這種添加輔助線的方法有三種連接方法，連接BC或ED都可以，解題原理不變.還有類似的典型題目，比如：

在圖3中，猜想：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2等于多少？請說明你的理由.

圖3

圖4

圖5

如果把圖3稱為2環三角形，圖4稱為2環四邊形，它的內角和∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2等于多少？

分析：類似于例1，在圖3中連接B1B2，轉化為四邊形，內角和為360°，在圖4中連接A1A2，B2D1（如圖5），轉化為一個五邊形和一個三角形，內角和為720°.此題還可以推廣到2環n邊形（如圖6），它的內角和為360°（n-2）.

評注：學生在解題過程中充分聯系了平時教學知識點中的結論，雖然這些結論不能用于直接說理，但是為問題的解決找到了很好的突破口，對學生解題信心的確立是很有幫助的.教學中，某些特殊或重要的知識點及結論，要讓學生做到熟記并靈活運用，這類變式問題是不錯的選擇，既避免了簡單重復的枯燥，也增強了學生解題的趣味和斗志.

圖6

二、在說理題中的應用

例2 如圖7，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖7的圖形稱之為“8”字形，如圖8，在圖7的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N.

（1）在圖7中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系.

（2）在圖8中，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系（直接寫出結論即可）.

圖7

圖8

分析：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）∠D+∠B=2∠P.

圖8存在兩個“8”字形，所以相等的內角和有兩對，分別是：∠1+∠D=∠3+∠P，∠4+∠B=∠2+∠P. 由于AP和CP分別平分∠DAB和∠BCD，所以∠1=∠2、∠3=∠4，根據等式性質，將上面等式相加，消去相等的量得∠D+∠B=2∠P.

在七年級的學習中還會遇到求線段之間關系等一類問題，學生通常只會求出線段的相等關系，而忽視了線段的位置關系，對于這類題目，學生如果熟悉“8”字形的結論，那么會很容易得到線段的位置關系.

例3 如圖9，兩個不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點O．

（1）AC、BD有什么樣的關系？

（2）將圖9中的△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角，得到圖10，這時（1）中的兩個結論是否成立？

圖9

圖10

分析：（1）如圖11，因為△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，且疊放在一起，所以OA=OB，OC=OD，且∠COD=∠AOB=90°.所以△COA S△DOB，所以AC=BD，∠1=∠2.如果延長CA，交DB于E，就構成了一個“8”字形，從而利用“8”字形的結論，∠1+∠4+∠DEC=∠2+∠3+∠COA=180°. 又∠4=∠3，即可得∠DEC=∠COA=90°.

圖11

圖12

（2）和（1）類似（如圖12），先證△COA S△DOB，如果延長CA，利用“8”字形的結論，即可得∠DEC=∠COA=90°，實際上，若△OAB繞點O繼續旋轉更大的角（大于0小于180°），結論仍然成立.

評注：復雜圖形中基本圖形的挖掘是解決圖形問題的關鍵，學生思想中基本圖形的形成，死記硬背、生搬硬套是沒用的，而要以理解替代，讓學生在完成學習任務的同時享受到成功的喜悅和學習數學的樂趣.

由上述幾例可以看出：許多幾何問題，初看似乎無從下手，難于思考，但是如果認真尋找與之接近的熟悉題目，從題目的相通或相同點切入，好好想一想與自己形成的基本圖形知識存在的聯系，充分利用基本圖形的結論，解題思路便會豁然開朗，難題也“活”了，當然并不是所有的幾何問題都能利用基本圖形得到很好的解決，但只要我們在解題時，善于抓住問題的特點，充分利用基本圖形分析問題，運用基本圖形對幾何解題的啟示和簡化功能總會出奇制勝.對于這些基本圖形，我們要想達到“見到圖形，想到性質，想全性質”，就必須把它們拿出來認認真真加以研究，形成基本圖形儲備起來.在頭腦中形成系統完備的待用基本圖形庫，最終把基本圖形當做利刃，用到解題中去.在本文中，筆者從一道最基本的題型出發，“有心插柳”，充分挖掘，探索得到“8”字型的結論，從而利用結論去解決一類復雜圖形的問題，達到“柳樹成蔭”的效果！

總之，只要我們教師對基本圖形的深入學習和研究，我們的學生在運用基本圖形解決幾何問題的能力，一定能提高到一個嶄新的水平.