向量運算：數與形一個也不能少

☉江蘇省贛榆高級中學 張自勇

數學課上，萬老師在黑板上寫了兩組題，分別交給兩個興趣小組的同學來做，做完后說說這組題的意圖是什么，并談談自己的解題體會.

第一組題：向量的線性運算

例1 如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點

圖1

萬老師：這組題的運算特點是什么?

張超：這組題都與向量的線性運算有關，首先要選取不共線的兩個向量作為基底，主要是選擇知道線段的長度、夾角等線段，再用基底表示有關的向量，最后進行向量的加減法、數乘、數量積的運算.

第二組題：向量的坐標運算

例3 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點D和向量的坐標.

馬俊：本題建立坐標系，給出了點的坐標，可以通過向量的坐標運算來進行.

萬老師：這組題的特點是什么？

馬俊：這組題都是平面向量的坐標運算，題目建立了坐標系或較容易建立坐標系，再通過向量的坐標進行向量的加、減、數乘、數量積等運算.

萬老師：向量是既有長度又有方向的量，向量的線性運算反映了向量的本質特征，更容易被同學們理解和接受.為了解決問題的方便，建立了平面直角坐標系，分別取x軸y軸正方向上的單位向量作為基底，使點的坐標與向量的坐標對應起來，從而大大簡便了向量的運算.

同學們，經過這兩組題的學習，你對向量運算的理解想必更深刻了吧！那就試用兩種方法解下面這道題：

練習：如圖4，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ

錯解分析：當2m2+m-1=0時，直線的斜率不存在，錯解忽略了這一點.

六、誤把截距等同于距離

例6 求過點A（-4，1），且在坐標軸上截距相等的直線l的方程.

錯解：由題意得直線l的傾斜角α=45°.

則k=1，又過點（-4，1），

則直線l的方程為x-y+5=0.

錯解分析：此解其中一個錯誤就是誤把截距等同于距離，另一個錯誤是忽略了一種特殊情況——過原點的直線，它也符合在坐標軸上截距相等的條件.

正解：由題意得直線l的傾斜角為135°或過原點.

當α=135°時，k=-1，又因為過點（-4，1），所以直線l的方程為x+y+3=0；

當直線過（-4，1），（0，0）時，直線l的方程為x+4y=0.

綜上所述，所求直線方程為x+y+3=0或x+4y=0.

七、直線方程的幾種形式及其適用范圍掌握不熟練而出錯

例7 當a為何值時，直線l1：（a+2）x+（1-a）y-1=0與直線l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直？

錯解分析：直線方程的一般式包含了所有直線的方程，而斜截式只適用斜率存在的直線的方程，所以在把一般式化成斜截式時會漏解，做此類題目時應先考慮好斜率不存在的情況.

正解：當直線l1斜率不存在時，1-a=0，即a=1時，直線l1：3x-1=0與直線l2：5y+2=0垂直；

則a=-1.

綜上所述，當a=1或a=-1時，l1⊥l2.

點評：本題還有更簡潔的方法，通過推導出兩直線垂直的一般性結論：A1A2+B1B2=0來做，不需要分類討論，就可以避開斜率不存在或斜率為0的情況，是兩直線垂直的充要條件.