高考數學解題思想方法及應考技巧漫談

☉寧夏回族自治區鹽池高級中學 李彥鵬

根據《2012年普通高等學校招生全國統一考試大綱說明》的考核目標與要求，以能力立意的命題原則嘗試以下三方面的新命題原則：

一是以數學內容為基點，以基本的推理能力和思維要求為出發點，突出考查學生一般能力的表現，測量學生的學習能力.

二是以多元化、多途徑、開放式的設問背景，全面測量學生觀察、實驗、聯想、猜想、歸納、類比、求異創新思維.

三是以源于社會、源于生活的問題考查學生.有效測量學生抽象、概括、建模能力.認識世界、把握本質、靈活運用所學知識分析問題、解決問題能力提出要求.上述新的命題原則是教育部考試中心評論專家任子朝先生總結的規律，對備考復習，應考具有一定指導價值.

在臨近高考的沖刺階段，考生要分清考試與平時的學習是不一樣的，明確高考的地位及考查形式，高考不僅要考查知識掌握的程度，更重要地是要考查能力.因此平時學習好的同學不一定就能考好，只有掌握考試的技巧，展現自己的能力，方可輕松獲取高分.本文結合高考和教學的實踐談幾種運用較廣泛而有效的解題思想方法，僅供參考.

一、數形結合，直觀求解

數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，凸顯直觀巧解題.

例1 已知點A（0，2），B（2，0）.若點C在函數y=x2的圖像上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數（ ）.

A.4 B.3 C.2 D.1

解析：如圖1，觀察到點O在拋物線上，且三角形OAB的面積為2，以AB為底邊在兩側做平行線交拋物線共4個點即為所求，選A.本題抓住O點特殊性，借助幾何直觀，數形結合，是問題化難為易，從而快速求解.

圖2

二、把握一般與特殊思想

通過對某些個例的認識，積累對這類事物的了解，由現象到本質，由實踐到理論；再用所得的規律解決這類事物中的問題.這種由特殊到一般，再由一般到特殊的反復認識過程就是人們認識世界的基本過程之一.在高考考題中，常常突出體現特殊化的方法.

例3 設等差數列{an}前n項和為Sn，若S9=72，則a2+a4+a9=_______.

解析：一般方法，令等差數列首項為a1，公差為d則由等差數列的前n項和公式得：9a1+36d=72?a1+4d=8，a2+a4+a9=3（a1+4d）=24.此法體現了方程思想，整體代入意識；遵循特殊化的方法，S9=72就是8與9的積為72，因此滿足等差數列的公差d為0，即每一項均是8，所以a2+a4+a9=24.這里一般的方法當然是通性通法，這是我們在平時教學，高考復習都是極力提倡的，但這只是思考的角度不同而已，筆者在這里想說明，人們認識事物的科學方法之一，從一般到特殊再由特殊回到一般到反復過程，不是獨立地搞特殊法，不是鉆題目的空子，應考時我們不能及時想起來.培養的這種意識，并提升為數學思想即特殊與一般思想.

例4過拋物線y=ax2（a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與QF的長分別是p、q，則等于（ ）.

圖3

解析：如圖3，如果直接求解，有困難，聯想拋物線的定義性質，由p，q向準線作垂線，再進一步求的值，還是不簡單.如果把焦點弦PQ移動為平行于x軸，依據拋物線的方程求出交點F的坐標，代入拋物線方程求出F點點橫坐標，立即求出體現了一般問題的特殊性，抓住特殊性就抓住了事物的特點，充分顯示特殊與一般密切關系，突出思想，體現靈魂.

解析：如果依據題目畫出一個一般的三角形的外接圓，作出高的交點H，標出圓心O，分析求解，面臨困難.但若把三角形畫成直角三角形如圖4所示，問題易于求解.這時外接圓的圓心O在斜邊中點O上，三角形兩邊高的交點與直角頂點C重合，則有，因此，某些數學問題，特別是數學選擇題，它的考查功能有時只是能作出判斷即可，不是搞研究，而正確快速作出判斷，這當然是長期積淀的結果，但也存在一定的技巧，那就是要具備一般與特殊的思想.每個人都要自己的知識漏洞、缺陷，關鍵要保持平常的心態對待缺陷造成的錯誤，甚至能夠珍惜之，有些數學問題不能及時解決，但并不意味著毫無機會，看起來困難，或許有機會做對.依靠的不是偶發的靈感，更重要的是對數學基本思想徹底理解.

圖4

三、某些函數問題模型化，使問題明朗簡單

數學是刻畫自然規律和社會規律的真理，其本身就是簡潔優美的.數學的語言是抽象的，形式化，符號化是它的特點.一方面，我們要做到準確理解數學概念、定理、公式等，另一方面，我們要處理數學問題時，要把復雜的簡單化，深入淺出，使學生明白了才能認識數學，從而提升學生的解題能力.教師在教學實踐中，要引導學生發掘數學的簡單美，逐漸理解數學形式化語言，把握數學的實質.把數學問題模型化，特別是數學的核心問題之一即函數問題，確實不失為我們追求真理的一個有效方法.

解析：觀察題目的條件，由x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，讓余弦函數的自變量x取一些數值，根據余弦函數圖像的有界性，所以，f（x2）是最大值，f（x1）是最小值.當f（x）取最值時，自變量x有無窮多，則|x1-x2|就是函數取最值時相應自變量x1，x2之間的距離，又由于求其最小值，因此，|x1-x2|表示自變量x1，x2同時取到最值時的相鄰之間的距離即表示余弦函數的半個周期，所以，其最小值是2.這就是把該問題模型化，當看明白數學抽象符號下的性質內涵，問題就變的簡單明了，迎刃而解，在具體分析探究過程中，培養了學生的概括整合能力.

解析：本題的編寫初衷是應用抽象函數的周期性，反復迭代去求解，考察學生對函數周期性的掌握情況及相關的運算代換變形能力.如果把次問題模型化，則由4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R）聯想到所學的基本初等函數構建模型是：2cosxcosy=cos（x+y）+cos（x-y），得到f（x）應該是一個余弦函數，不妨令f（x）=Acosωx顯然此解法十分簡捷，一般問題模型化，看清問題實質，因此，教學要求就是要求學生在教師的引導下，立足教學實際，能提出問題，抓住事物的特點，不受習慣思維的約束，體現解決問題地深刻性和靈活性，并具有創造性.

總之，解答高考數學問題，特別是填空選擇題目.一是要數形結合，直觀求解；二是通過深入分析，多方聯想，把握一般與特殊的思想；三是創造性地運用數學思想方法，找到問題特別是函數問題，模型化，使復雜問題簡單明朗.或退到我們熟悉的問題上，看清問題的本質，迅速破解，對提高考生成績具有積極的作用和幫助，我們期待2012年高考應考學子取得自己理想的成績.