剖析直線與方程的七大易錯點

☉浙江省寧波市北侖職業(yè)高級中學(xué) 任海娜

直線與方程是高考內(nèi)容的重要組成部分，我們必須熟練掌握直線的傾斜角和斜率、直線方程的幾種形式，避免錯誤的發(fā)生，準確、迅速地解決問題.本節(jié)常見的思維誤區(qū)有：

（1）在對直線的傾斜角和斜率的學(xué)習(xí)中，未能充分理解傾斜角和斜率之間的區(qū)別與聯(lián)系.

（2）在本章的學(xué)習(xí)中，要強化數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法，極易忽略考慮斜率是否存在？

一、對直線的傾斜角與斜率的概念理解不透徹

例1 下列說法中正確的有（ ）.

①若直線的傾斜角為θ，則直線的斜率為tanθ；

②因為所有的直線都有傾斜角，所以所有的直線都有斜率；

③因為垂直于x軸的斜率不存在，所以垂直于x軸的直線的傾斜角也不存在.

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

錯解：選D.

錯解分析：本題考查斜率與傾斜角的關(guān)系，所有直線都有唯一的傾斜角，但當傾斜角為90°時，直線的斜率不存在，所以三句話都錯.

正解：選A.

二、誤解斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系

錯解分析：產(chǎn)生錯誤的原因在于對斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系一知半解，誤認為傾斜角的倍數(shù)關(guān)系等同于斜率的倍數(shù)關(guān)系.解決此題的關(guān)鍵是求出直線AB的傾斜角為60°，則直線l的傾斜角為30°，由此可得直線l的斜率.

則直線AB的傾斜角為60°.

由題意可知直線l的傾斜角為30°.

三、由于正切函數(shù)單調(diào)性理解不透徹，造成斜率的單調(diào)性掌握不準確

例3 已知點A（-3，4），B（3，2），過點P（2，-1）的直線l與線段AB有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍.

錯解：由已知得：

則直線l的斜率k的取值范圍是-1≤k≤3.

則要使直線l與線段AB有公共點，直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥3.

四、誤把k1=k2看成是直線l1∥直線l2的充要條件

例4 根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行.

（1）直線l1過點A（2，1），B（2，5），直線l2：x=-4.

（2）直線l1過點A（0，1），B（-2，-1），直線l2過點C（3，4），D（2，3）.

錯解分析：兩題都誤把k1=k2看成是直線l1∥直線l2的充要條件，忽略了限制條件.判斷兩直線是否平行時，一個要注意斜率是否存在，如（1），雖然斜率不存在但并非傾斜角不存在，不重合的兩條直線，如果斜率不存在，那么這兩條直線顯然平行；另一個要注意兩條直線是否重合，如（2），雖然也滿足k1=k2，但由于在一條直線上，所以l1與l2重合.

五、易忽略直線斜率不存在的情況

例5 設(shè)直線l的方程為（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，若此直線的斜率為1，試確定實數(shù)m的值.

錯解分析：當2m2+m-1=0時，直線的斜率不存在，錯解忽略了這一點.

六、誤把截距等同于距離

例6 求過點A（-4，1），且在坐標軸上截距相等的直線l的方程.

錯解：由題意得直線l的傾斜角α=45°.

則k=1，又過點（-4，1），

則直線l的方程為x-y+5=0.

錯解分析：此解其中一個錯誤就是誤把截距等同于距離，另一個錯誤是忽略了一種特殊情況——過原點的直線，它也符合在坐標軸上截距相等的條件.

正解：由題意得直線l的傾斜角為135°或過原點.

當α=135°時，k=-1，又因為過點（-4，1），所以直線l的方程為x+y+3=0；

當直線過（-4，1），（0，0）時，直線l的方程為x+4y=0.

綜上所述，所求直線方程為x+y+3=0或x+4y=0.

七、直線方程的幾種形式及其適用范圍掌握不熟練而出錯

例7 當a為何值時，直線l1：（a+2）x+（1-a）y-1=0與直線l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直？

錯解分析：直線方程的一般式包含了所有直線的方程，而斜截式只適用斜率存在的直線的方程，所以在把一般式化成斜截式時會漏解，做此類題目時應(yīng)先考慮好斜率不存在的情況.

正解：當直線l1斜率不存在時，1-a=0，即a=1時，直線l1：3x-1=0與直線l2：5y+2=0垂直；

綜上所述，當a=1或a=-1時，l1⊥l2.

點評：本題還有更簡潔的方法，通過推導(dǎo)出兩直線垂直的一般性結(jié)論：A1A2+B1B2=0來做，不需要分類討論，就可以避開斜率不存在或斜率為0的情況，是兩直線垂直的充要條件.