離散時間系統分析中初始條件的確定

趙立嶺

（德州學院 物理系，山東 德州 253023）

離散時間系統分析中初始條件的確定

趙立嶺

（德州學院 物理系，山東 德州 253023）

由于離散時間系統的差分方程具有迭代性，系統的全響應、零輸入響應和零狀態響應的初始條件可以相互轉化.前向差分方程描述的系統，利用Z變換求解時，只需進行簡單的初始條件替換，即可得到零輸入響應的變換式.

離散時間系統；零輸入響應；零狀態響應；初始條件

對線性時不變系統來說，響應具有可分解性.線性時不變離散時間系統差分方程(式(1)、(2))的完全響應y(n)可分為零輸入響應yzi(n)和零狀態響應yzs(n)(式(3))[1-2].在時域分析中，系統完全響應、零輸入響應和零狀態響應表達式中的待定系數，需要根據各自初始條件進行確定.在Z變換域分析中，零輸入響應也需要相應的初始條件確定.系統分析時，給定的條件往往是一組數據，可能是全響應的條件{y(n)|0≤n≤N-1}，也可能是零輸入響應的條件{yzi(n)|0≤n≤N-1}或{y(n)|-N≤n≤-1}，還可能是零狀態響應的條件{yzs(n)|0≤n≤N-1}，其中N是系統的階次.與連續時間系統的數學模型微分方程不同，離散時間系統的數學模型差分方程具有迭代性，不同響應的初始條件之間可以相互轉換，這為離散時間系統地分析帶來方便.

1 零輸入響應的邊界條件

零輸入響應對應于系統激勵為零時的響應，滿足方程式(4).如果已知零輸入響應的邊界條件{yzi(n)|-N≤n≤-1}，可通過式(4)迭代出零輸入響應的初始條件{yzi(n)|0≤n≤N-1}.由于式(4)中激勵為零，零輸入響應的表達式在n<0時仍舊成立，故也可由邊界條件{yzi(n)|-N≤n≤-1}直接計算零輸入響應的待定系數.

對零狀態響應而言，當n<0時，響應為零，由式(3)可得：

因此，零輸入響應的邊界條件{yzi(n)|-N≤n≤-1}也就等于全響應的邊界條件{y(n)|-N≤n≤-1}.通過差分方程式(1)，可以迭代出全響應的初始條件{y(n)|0≤n≤N-1}，從而計算全響應中的待定系數.

由零輸入響應的初始條件{yzi(n)|0≤n≤N-1}和全響應的初始條件{y(n)|0≤n≤N-1}，通過式(3)可得到零狀態響應的邊界條件{yzs(n)|0≤n≤N-1}，從而計算零狀態響應表達式中的待定系數.

2 全響應的初始條件

如果已知全響應的初始條件{y(n)|0≤n≤N-1}，可通過差分方程式(1)迭代出n<0的一組值{y(n)|-N≤n≤-1}，由式(5)可知，該組數據就等于零輸入響應的邊界條件 {yzi(n)|-N≤n≤-1}.接下來，可按前述方法由{yzi(n)|-N≤n≤-1}確定零狀態響應初始條件{yzs(n)|0≤n≤N-1}.

例 設離散系統差分方程為y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)，激勵x(n)=2nu(n)，若(1)已知yzi(-1)=1，yzi(-2)=2，求y(0)、y(1)、yzs(0)、yzs(1)；(2)已知y(0)=1，y(1)=2，求yzs(0)、yzs(1)、yzi(0)、yzi(1).

解 (1)y(-1)=yzi(-1)=1，y(-2)=yzi(-2)=2

由系統差分方程可得：y(n)=x(n)-3y(n-1)-2y(n-2)

n=0時，y(0)=x(0)-3y(-1)-2y(-2)=1-3-4=-6

n=1時，y(1)=x(1)-3y(0)-2y(-1)=2+18-2=18

同理，由方程yzi(n)+3yzi(n-1)+2yzi(n-2)=0及yzi(-1)=1、yzi(-2)=2，可迭代得出yzi(0)=-7，yzi(1)=19

則：yzs(0)=y(0)-yzi(0)=-6-(-7)=1

(2)由系統差分方程可得：

即：yzi(-1)=y(-1)=-1.5，yzi(-2)=y(-2)=2.25

分別令n=0、1，將yzi(-1)、yzi(-2)代入零輸入響應方程

可得：yzi(0)=0、yzi(1)=3

則零狀態響應的初始條件為：

3 前向差分方程初始條件的確定

對離散時間系統的零狀態響應yzs(n)而言，n<0時，響應為零.對前向差分方程式(2)描述的系統，通過迭代可以得出，當n

也就是說，此時全響應的初始條件{y(n)|n≤N-M}，就等于零輸入響應的初始條件{yzi(n)|n≤N-M}.利用該結論在變換域中求解零輸入響應時，會使分析變得簡單.

設某離散時間系統的差分方程為：

其中x(n)=x(n)u(n)，零狀態響應滿足yzs(n+2)+a1yzs(n+1) +a0yzs(n)=x(n)，且yzs(-1)=yzs(-2)=0.

當n=-2時，yzs(0)=x(-2)-a1yzs(-1)-a0yzs(-2)=0

當n=-1時，yzs(1)=x(-1)-a1yzs(0)-a0yzs(-1)=0

從而可得：y(0)=yzi(0)、y(1)=yzi(1)

將式(7)所示差分方程進行單邊Z變換并整理的：

上式右邊第二項就是零輸入響應的Z變換式.

當前向差分方程的N=M時，如：

將方程兩邊進行單邊Z變換，整理可得：

式(10)右端第二項含有激勵的值，是不是零輸入響應呢？為此，我們分析式(9)所示系統的零狀態響應方程：

把式(3)、(11)、(12)，代入式(10)可得：

可見式(13)或(10)右端第二項是零輸入響應.

將式(13)與式(10)、(8)相比較發現，利用Z變換求解前向差分方程的零輸入響應時，只需將響應變換式中的激勵初始項去掉，全響應初始值{y(n)|0≤n≤N-1}替換為零輸入響應初始值{yzi(n)|0≤n≤N-1}，即得到零輸入響應的變換式.

4 結論

綜上所述，利用差分方程具有迭代性的特點，在對線性時不變離散系統進行分析時，可將全響應、零輸入響應和零狀態響應的初始條件進行轉化，方便響應的求解.同時，在變換域分析前向差分方程所示系統零輸入響應時，也可通過初始條件的轉換，快速確定響應的變換式.

〔1〕吳大正.信號與線性系統分析（第4版）[M].北京:高等教育出版社,2006.

〔2〕鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統（第二版）[M].北京:高等教育出版社,2003.

O231

A

1673-260X（2012）05-0012-02

德州學院教育改革立項課題（JGLX-A09008）