帶Poisson跳的隨機(jī)微分方程解的矩估計(jì)

崔靜

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,，安徽 蕪湖 241000）

帶Poisson跳的隨機(jī)微分方程解的矩估計(jì)

崔靜

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,，安徽 蕪湖 241000）

利用隨機(jī)微分方程的基本理論及分析的技巧，研究了帶Poisson跳的隨機(jī)微分方程解的性質(zhì)，在非線性系數(shù)滿足線性增長(zhǎng)的條件下，給出了帶Poisson跳的隨機(jī)微分方程解矩估計(jì)，豐富了現(xiàn)有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.

隨機(jī)微分方程；Poisson跳；Ito公式；P-階矩

眾所周知，隨機(jī)微分方程理論在系統(tǒng)與控制科學(xué)、金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1,2].近年來(lái)，帶Poisson噪聲的隨機(jī)微分方程引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，許多精美的結(jié)果參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-5].本文在現(xiàn)有結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用Ito公式、Burkholder不等式及分析的技巧，研究了帶Poisson跳的隨機(jī)微分方程解的性質(zhì)，在非線性系數(shù)滿足線性增長(zhǎng)條件下，給出了帶Poisson跳的隨機(jī)微分方程解的矩估計(jì)，豐富了現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

令|·|表示R上的歐幾里得范數(shù)，R+=（0，∞)令(Ω,F,{Ft}t≥0, P)是一個(gè)完備的概率空間且滿足通常的條件，即{Ft}t≥0是單增、右連續(xù)的σ-族且F0包含所有的P-零集，B={Bt}t≥0是定義在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)的一維布朗運(yùn)動(dòng).N(ds,dy)是(R+× U,B(R+)×A)上的特征測(cè)度為v(dy,ds)的Poisson隨機(jī)測(cè)度且與B={Bt}t≥0獨(dú)立，其補(bǔ)償隨機(jī)測(cè)度為N(ds,dy).考慮如下帶Poisson跳的隨機(jī)微分方程

其初始條件為x(0)=x0∈R對(duì)T>0假設(shè)b,σ:[0,T]×R→R, h:R×R→R為Borel可測(cè)的函數(shù).

眾所周知，當(dāng)非線性系數(shù)b，σ，h滿足相應(yīng)的Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件時(shí)，方程(1.1)存在唯一的強(qiáng)解，以下若無(wú)特別說(shuō)明，總假設(shè)方程(1.1)存在唯一的強(qiáng)解.為了研究方程(1.1)解的p-階矩，需要作如下假設(shè)：

(H1)對(duì)q>2存在一個(gè)正常數(shù) 使得

(H2)對(duì)所有的t∈[0,T]及y∈R存在一個(gè)正常數(shù)K2使得

2 主要結(jié)果及證明

引理2.1[2]若x(t)是方程(1.1)的解，則對(duì)p≥2，存在常數(shù)cp>0,使得對(duì)所有的t≥t0>0,都有

引理2.2[3]對(duì)任意p≥2，若,則

定理2.1 令x是方程唯一的解.若假設(shè)成立，則存在一對(duì)正常數(shù)c1,c2使得對(duì)p≥2及t∈[0,T]有

其中

c0=K2p(p-1),c(p,T)是一個(gè)僅依賴(lài)于p,T的正常數(shù).證明 由(H2)可得

對(duì)t∈[0,T],由Ito公式可得，

利用(2.1)及(H2)進(jìn)一步計(jì)算可得

從而可得

其中

下面估計(jì)上述的Ii,i=1,2,3.易知，

由Burkholder-Davis-Gundy不等式、Holder不等式及(H2)可得

注意到由Ito公式可知

進(jìn)而，由引理2.1及(H1)可得

由上述估計(jì)計(jì)算可得

由Gronwall不等式知定理得證.

定理2.2 在定理2.1的條件下，存在正常數(shù)ci,i=3,4,5使得對(duì)所有的p≥2,0≤s≤t≤T都有

證明 運(yùn)用Holder不等式及一個(gè)基本的不等式|a+b+c|p≤3p-1(|a|p+|b|p+|c|p)可得

由引理2.2，類(lèi)似于定理2.1中I3的推導(dǎo)我們有

由(H1)及(H2)計(jì)算整理可得

由定理4.1易知

其中

定理得證.

〔1〕D.Applebaum,Levy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press,2004.

〔2〕H.Kunita,Stochastic diffential equations based on Levy processes and stochastic flows of diffeomorphisms.Real and Stochastic Analysis,New Perspectives,M.M.Rao., 1984.

〔3〕X. Mao, Stochastic Differential Equations and Applications[M].Horwood,1997.

〔4〕M.Siakalli,Stability propertiesofstochastic diffential equations driven by Levy noise.University of Sheffield PhD thesis,2009.

〔5〕T. Yamada, On the successive approximation of solutionsofstochastic differentialequations.J.Math. Kyoto Univ.21,(1981)501-515.

O211.9

A

1673-260X（2012）05-0003-03

安徽省教育廳自然科學(xué)基金（KJ2011z147）