有關復李群與A-李群的性質的初步探究

岳祥振

（伊犁師范學院奎屯校區 文理系，新疆 奎屯 833200）

有關復李群與A-李群的性質的初步探究

岳祥振

（伊犁師范學院奎屯校區 文理系，新疆 奎屯 833200）

文章從復李群、A-李群及其子群的定義和性質出發，研究了復李群G成為復Poisson仿射群的充要條件，并探討了A-李群的積和A-李子群的交集的性質.

復Poisson仿射群；A-李群；A-李子群

文章著眼于超李群加以探討，豐富了超微分幾何的理論內容，同時也為量子物理等其他應用學科提供了新的研究工具.A-流形是流形概念的一個自然推廣，A-李群也可看作是李群概念的一個自然推廣.

1 基礎概念與引理

定義1 如果復李群G為仿射群K(G，H)，帶有復結構J并賦予了Poisson結構π，使其成為Poisson仿射群.則稱其為復Poisson G仿射群.簡稱為復Poisson仿射群，記為（K（G，H），π，J）.

定義2[3]設M是一個拓撲空間，φ：U→O是M的一個坐標卡，其中φ是同胚，開子集U奐M,O是某A-向量空間E的偶性部分的開子集.在不產生混淆的情況下,用開集U奐M或 (U,φ)表示一個坐標卡.M兩個坐標卡φa:Ua→Oa奐(Ea)0, φb:Ub→Ob奐(Eb)0是相容的，如果映射φaφb-1和φbφa-1是光滑的，即φbφa-1∈C∞（φa（Ua∩Ub）;Eb）0和φaφb-1∈C∞（φb（Ua∩Ub）;

Ea）0.

拓撲空間M的光A-結構是一坐標卡簇S={φα:Uα→Oα|α∈I}:滿足下面三個條件:

(2)坐標卡簇S中任意兩個坐標卡是相容的;

(3)若坐標卡φ:U→O與坐標卡簇S中的元素全部相容，則φ∈S.

proto A-流形是帶有光滑A-結構S的拓撲空間M. proto A-流形的冊是S的子集U,如果它滿足條件(1)和(2),但不必滿足(3).

定義3 設G、H是A-李群，映射ρ:G→H稱為A-李群同態,如果ρ是光滑的且它是抽象群的同態.

定義4 如果G是A-李群，G的一個A-李子群是一對(i，H)，使得H是A-李群，且i:H→G是內射的A-李群同態.在一般情況下，僅用H表示G的A-李子群.

引理1 設M和N是兩個A-流形，U和V分別是M和N的冊.在M×N上定義一個冊

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其中定義(φa×ψb)(x,y)=(φa(x),ψb(y)).則M×N是一個A-流形.

引理2 給定一個拓撲空間M，坐標卡簇U={Ua|a∈I}滿足條件(1)和(2).則冊U定義了M的惟一的一個光滑A-結構.

2 主要定理及證明

定理1 如果復李群G為仿射群K(G，H)，并在G上賦予了Poisson結構π，使其乘法滿足Poisson映射.則復Poisson仿射群的充要條件是坌g1,g2∈G,h1,h2∈H

其中l(g1,h1)，r(g2,h2)分別表示仿射群K(G，H)的左、右平移(不變向量場).

證明 先證必要性：設(K(G,H),π,J)是復Poisson仿射群，則乘法

m:K(G,H)×K(G,H)→K(G,H)是Poisson映射，即坌g1,g2∈G,h1,h2∈H，有

又m為全純映射，根據乘積Poisson流形M×N的性質有

所以

充分性的證明只需將上面的證明過程逆推即可.

推論1.1 如果(K(G,H),π,J)是復Poisson仿射群，e,θ分別是G和H的單位元，則Jπ(e,θ)=0，其中復李群G中的遠算為“乘法”，H中的遠算為“加法”.

定理2 設G1,G2是兩個A-李群，在笛卡爾積G1×G2上定義乘法運算

則G1×G2是一個A-李群.

證明 由引理1得G1×G2是一個乘積A-流形.設e1,e2分別是G1、G2的單位元，則(a1,a2)莓(e1,e2)=(a1e1,a2e2)=(a1,a2),坌(a1, a2)∈G1×G2.所以(e1,e2)是G1×G2的單位元.又(a1,a2)-1=(a1-1,a2-1)是(a1,a2)的逆.又由乘法運算得乘法是封閉的，故G1×G2是抽象群.因為G1、G2是A-李群，所以它們的乘法運算m1:G1× G1→G1和m2:G2×G2→G2是光滑的，其中mi(ai,bi)=aibi,i=1,2.設G1、G2的冊分別為u={φa:Ua→Oa|a∈I}和v={ψb:Vb→Pb|b∈J}，則φa1莓m1莓(φa2,φa3)-1和ψb1莓m2莓(ψb2,ψb3)-1是光滑的.定義m: (G1×G2)×(G1×G2)→(G1×G2)為坌ai,bi∈Gi,i=1,2,則 (φa1×ψb1)莓m[(φa2×ψb2)×(φa3×ψb3)]-1

可見

是光滑的.綜上所述，G1×G2是一個A-李群.

定理3 設A-李群G，(i1,G1)和(i2,G2)分別是A-李群G的A-李子群.則G1∩G2是G的A-李子群.

證明 (1)先證G1∩G2是G的A-流形.取G的單位元e,由于G1,G2是G的A-李子群,所以e∈G1∩G2,G1∩G2≠覫.設G是構造于A-向量空間E上的A-李群,G1是構造于分級子空間Fi奐E(i=1,2)的A-李子群.記F=F1∩F2,易得F是A-向量空間E的分級子空間.取G的一個冊w={φa:Ua→Oa奐E0|a∈I}.令

則S={ψa:Va→Pa奐F0|a∈I}必是G1∩G2的冊.事實上，由于∪a∈IUa=G，且∪a∈IVa=G1∩G2，所以S滿足條件(1).

再證S滿足條件(2).任意取S中得兩個坐標卡ψa:Va→Pa奐(Fa)0和ψb:Vb→Pb奐(Fb)0.由于φbφa-1:φa(Ua∩Ub)→Pb奐(Eb)0是光滑的，則φbφa-1到φa(Ua∩Ub)∩(Fa)0上的限制也是光滑的.又φa(Ua∩Ub)∩(Fa)0=ψa(Va∩Vb)，故φbφa-1ψa(Va∩Vb)奐(Fb)0，所以φbφa-1:ψa(Va∩Vb)→(Fb)0是光滑的,故ψbψa-1:ψa(Va∩Vb)→(Fb)0是光滑的.同理，ψaψb-1:ψb(Va∩Vb)→(Fa)0也是光滑的.所以S滿足條件(2).

再由引理2可知S惟一地確定了G1∩G2上的一個光滑A-結構.而G是滿足第二可數的、Hausdorff的拓撲空間，所以G1∩G2也是滿足第二可數的、Hausdorff的拓撲空間.因此可得G1∩G2是G的A-流形.

(2)單位元e∈G也是G1∩G2的單位元.易知G1∩G2是抽象群.

(3)由于A-李群G上的乘法映射m:G×G→G是光滑的，只需將m限制到(G1∩G2)×(G1∩G2)上，即可得到G1∩G2上的乘法映射m':(G1∩G2)×(G1∩G2)→G1∩G2，所以m'是光滑的.

(4)因為i1:G1→G和i2:G2→G都是內射的A-李群同態，不妨令i=i1|G1∩G2，則i:G1∩G2→G保持i1在G1上的運算.所以i是內射的A-李群同態.

綜合(1)(2)(3)(4)四部分，可知G1∩G2是G的A-李子群.

推論3.1 A-李群G的有限多個A-李子群的交依然是G的A-李子群.

例 設G=Aut(E)是有限維的A-向量空間E的自同構群.在該群上定義了通常的復合“莓”這種群結構.Aut(E)的元素是右線性的，即Aut(E)奐EndR(E).在通常的復合“莓”結構下，Aut(E)對E的作用是光滑的左作用.Aut(E)是一個具有標準結構的A-流形，且是A-向量空間EndR(E)的偶性部分的開子集.它是一個A-李群.

〔1〕Boothby W.M.An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry[M].New York:Academic Press，1975.

〔2〕Serge Lang，S.Axler，F.W.Gehring，P.R.Halmos.Differntial and Riemannnion Manifolds[M].Beijing:Springer-Verlag (世界圖書出版公司北京公司)，1998.

〔3〕Gijs M.Tuynman.Supermanifolds and Supergroups(Basic Theory)[M].Kluwer Academic publishers，2004.

〔4〕Abraham R.A.，Marsden J.E..Foundations of Mechanics[M],2nd ed..Westview press，1978.

〔5〕孟道驥，白承銘.李群[M].北京：科學出版社，2005.

〔6〕陳維桓.微分流形初步(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2001.

O152.5

A

1673-260X（2012）05-0001-02

伊犁師范學院院級青年科研項目（QN2008019）