結構分離和參數分離的灰箱建模

曹柳林，劉華，王晶，吳海燕

(北京化工大學 信息科學與技術學院，北京 100029)

建立準確的非線性系統模型是實施基于模型的先進控制策略的基礎.當前，融合機理建模［1］和黑箱建模［2-3］技術的灰箱建模方法得到越來越多的研究，已顯示出很大優越性.James S等［4］對一個間歇反應器進行灰箱建模，引入了神經網絡對反應的反應物濃度進行了模擬.Chang Jyh-Shyong等［5］模擬間歇反應過程，使用神經網絡估計反應中難以測量的狀態變量.Cao Liulin等［6-7］人使用串聯、并聯神經網絡和結構逼近式混合神經網絡等方法對非線性CSTR過程建模進行深入研究.

工業生產過程存在一大類這樣的對象，如CSTR，它們被廣泛使用，其運行的機理框架(表現為模型的結構)基本明晰，而模型參數因品種各異而未知［8］.傳統的黑箱建模方法無視這類極其寶貴的先驗知識資源，僅從輸入輸出數據中去逼近系統.本文提出的建模方法是建立在深入、細致的分析系統特性的基礎上，充分利用系統的先驗知識，試圖從結構和數據上逼近原型系統，以提高模型的精度和泛化性能.

1 連續攪拌釜式反應器過程描述

連續攪拌釜式反應器(continuous stirred tank reactor，CSTR)是化工生產過程中廣泛常用的一種反應器.本文選取一類典型的CSTR作為建模背景［9］，如圖1所示.

反應過程可簡化為

其中，A和B是反應原料，C是反應生成物，K是反應速率常數.

圖1 CSTR反應過程Fig.1 Reaction process of CSTR

CSTR物料平衡和能量平衡方程為

反應速率和Arrhenius方程:

式中:CA、CB是反應物A和B的濃度;CC是生成物的濃度，T是反應溫度;CAf、CBf是反應物A和B的進料濃度;Tf是進料溫度;Tcf是冷卻劑溫度;q為總進料流量;R'是氣體常數.過程參數的含義及數值見表1.

根據式(1)和(2)，在對工藝分析的基礎上，選擇CAf、CBf、Tf、Tcf作為模型的輸入變量(操縱變量和擾動變量)，CA、CB、CC、T 為狀態變量(含輸出變量).

在對上述對象建模中，假設其所有變量均為可測量，表1中的反應器體積也為已知量，其余參數為未知量.

方程(1)和(2)可以代表一大類典型的化學反應過程，其反應機理基本已知，但反應參數各異且未知，本文針對這類過程開展建模研究.

建模思路是充分利用系統的先驗知識，最大可能的保留系統的已知結構和參數.

建模過程分兩階段進行，首先針對非線性部分，辨識出Arrhenius方程中的未知參數反應活化能E0和指前因子k0，從而計算出反應速率R;其次完成線性部分的參數辨識.這種兩步法的訓練模式迭代運行，直至滿足模型精度的要求.

表1 CSTR參數表Table1 CSTR parameters

2 利用結構分解建立CSTR的灰箱模型

觀察CSTR方程，可知反應速率R是方程中唯一的非線性因素.若對上述系統進行結構分解，把R選作系統的輸入，那么這個非線性系統就可以轉變成線性系統，可被線性狀態方程描述.系統結構圖和狀態方程參見圖2和式(3).

圖2 模型結構Fig.2 The structure ofmodel

2.1 利用對數變換建立非線性靜態部分的模型

由于由式(2)所示的反應速率及相應的Arrhenius方程已被廣泛接受，提出的建模思路是盡可能保留系統的已知結構和參數，因此與常規黑箱建模方法不同，這部分模型完全繼承如式(2)所示的方程形式，其中的反應活化能E0和指前因子k0需要辨識.

為使用簡便、有效的最小二乘算法估計上述參數，需要對反應速率方程進行處理.

方法1 對數變換法.

兩邊取對數:

令則有

根據工藝常識的大致數量級確定E0和k0的初值，從樣本集中提取適當數目的數據組成x(k)，使用遞推最小二乘法將ω=［ω1ω2］辨識出來，從而求出反應活化能 E0和指前因子 k0，其中，k0=exp(ω1)，E0=R'ω2，進而獲得反應速率 R.

方法2 泰勒公式法.

利用泰勒級數公式對非線性方程進行線性化，使用最小二乘法把未知參數辨識出來，從而求出反應速率，此方法在此不再贅述.

2.2 利用參數分解建立線性動態部分的模型

分析由式(3)描述的線性狀態方程，可知矩陣中絕大多數元素為零或已知參數，如q.V-1和1，僅有2項元素未知.而常用的建模方法，無論是神經網絡還是使用最小二乘的黑箱建模方法，均忽略了這些先驗知識，對矩陣的全參數進行辨識.針對這種缺陷，本文采用參數分離的做法，固定零元素和已知量，僅對矩陣中非零的未知參數進行辨識，這樣可以大大降低模型的訓練時間，更重要的是可以保證從模型結構上最大可能的逼近原型系統，從而提高模型的可靠性和泛化能力.

因此

利用采集對象的樣本集和遞推最小二乘算法，可將θ辨識出來，再代入式(3)，確立線性部分的模型.

3 建模結果與對比

取反應物A和B的進料流量CAf，CBf以及進料溫度Tf、冷卻劑的溫度Tcf為模型的輸入信號，讓其在取值域內隨機變化.為模擬生產實際，在輸入變量中分別加入白噪聲信號，記錄相應的時間響應，生成模型的訓練樣本集.為使模型的動態和穩態特性都滿足要求，在樣本集中特意增加了表現系統穩態特性的階躍輸入及其響應，它與隨機信號的比例約為1∶5.

3.1 實際反應速率R與模型數值比較

為了反映所建模型與實際原型系統內部結構的逼近程度，利用機理模型R的可計算性質，與2種模型獲取的反應速率做了對比，見圖3．

以下比較中模型誤差采用如式(5)所示的標準誤差公式:

式中:n是樣本總數．

由圖3可以看出，方法1獲得的反應速率R與實際值十分接近(標準差σ1=0．079 9)，而方法2計算出的反應速率R與實際值存在一定偏差(標準差σ2=0．171 1)．這是由于方法2使用泰勒公式近似所引起的，而方法1對Arrhenius方程做了形式上的準確變換．

3．2 2種灰箱模型與全參數辨識灰箱模型比較

為了驗證提出的參數分離建模方法(僅對未知參數進行辨識)的泛化精度，與常規使用的全參數辨識的灰箱建模方法(下稱方法3)進行對比(如圖4所示)，同樣使用反應速率R作為輸入的結構分離法．

圖4 方法1和方法3模型輸出曲線Fig．4 Output curves of themethod 1 and method 3

由圖4可知，方法1在動態和穩態特性上都明顯優于全參數辨識的灰箱模型，尤其是穩態特性．在辨識濃度C和反應溫度T時，方法3的動態特性也有較大的偏差．方法1充分利用系統的已知信息，不僅從外部的輸入輸出數據上捕捉系統的特性，更從內部結構上逼近系統的原型，因此能獲得更好的模型精度．根據式(5)計算得到3種模型的標準誤差見表2．

表2 3種模型的標準誤差Table 2 The standard errors of the threemodels

由表2可見，方法1的各項誤差都是最小的;在物料A、B的濃度誤差方面，方法3要小于方法2;而物料C濃度和反應溫度的誤差，方法2小于方法3．方法1和方法2的誤差分布比較平均，方法3則顯示出較大的波動．由此可見，本文提出的灰箱建模方法需要辨識的參數大大減少，充分利用了系統的已知信息，在模型的精度和可靠性上都要好于全參數辨識的常規方法．

4 結束語

以石化工業中廣泛應用的連續攪拌釜式反應器(CSTR)為背景，提出簡便、有效的兩步法訓練的灰箱建模方法．在對CSTR機理深入分析的基礎上，充分利用模型結構的先驗知識，把模型描述為線性動態和非線性靜態兩部分，實現模型的結構分解.針對包含指數形式(Arrhenius方程)的非線性部分，提出2種數學處理方法，把其轉化為線性方程，便于簡捷、快速的求解;充分利用模型參數的先驗知識，把線性狀態方程中的已知參數固定化，僅辨識未知參數，實現模型的參數分解;通過上述兩步法訓練，建立起典型CSTR的灰箱模型.經與常規建模方法比較，所建模型可以提高建模的精度和可靠性，從內部結構上逼近原型系統，并大大縮短模型的訓練時間.

［1］LIU Haixia，PAPANGELAKIS V G.Chemicalmodeling of high temperature aqueous processes［J］.Hydrometallurgy，2005，79(1/2):48-61.

［2］DU Jingjing，SONG Chunyue，LIPing.Modeling and control of a continuous stirred tank reactor based on a mixed logical dynamicalmodel［J］.Chinese Journal of Chemical Engineering，2007，15(4):533-538.

［3］ZHU Qunxiong，LIChengfei.Dimensionality reduction with input training neural network and its application in chemical processmodelling［J］.Chinese Journal of Chemical Engineering，2006，14(5):156-169.

［4］JAMESS，LEGGE L，BUDMAN H.Comparative study of black-box and hybrid estimation methods in fed-batch fermentation［J］.Journal of Process Control，2002，12(1):113-121.

［5］CHANG J S，LU SC，CHIU Y L.Dynamic modeling of batch polymerization reactors via the hybrid neural network rate function approach ［J］.Chemical Engineering Journal，2007，130(1):19-28.

［6］曹柳林，李曉光，王晶.利用結構逼近式混合神經網絡實現間歇反應器的建模［J］.化工學報，2008，59(4):958-963.CAO Liulin，LIXiaoguang，WANG Jing.Modeling ofbatch reactor based on structure approaching hybrid neural networks approach［J］.Journal of Chemical Industry and Engineering，2008，59(4):958-963.

［7］CAO Liulin，LIDazi，ZHANG Chunyu，et al.Control and modeling of temperature distribution in a tubular polymerization process［J］.Computers ＆ Chemical Engineering，2007，31(11):1516-1524.

［8］MOHANTY S.Artificial neural network based systemidentification and model predictive control of a flotation column［J］.Journal of Process Control，2009，19(6):991-999.

［9］周東華.現代故障診斷與容錯控制［M］.北京:清華大學出版社，2000:20-25.