傾斜岸河流和水庫水面污染帶下的污染物質量濃度分布

武周虎，賈洪玉

(1.青島理工大學環境與市政工程學院，山東 青島 266033;

2.山東省建設項目環境審核受理中心，山東 濟南 250013)

各種廢棄物越來越多地出現在河流和水庫水面，如來源復雜、種類繁多的各類垃圾［1］以及石油類和密度較小的污水等。這些水面污染物不僅影響自然景觀，而且污染深層水體，會給水環境與水生態帶來危害。國內外對水面污染源向水下的一維擴散研究已取得一定成果［2-3］，但傾斜岸河流和水庫水面污染源向水下的擴散是立面二維問題，對此問題的研究尚不多見。武周虎等［4-5］采用解析法和數值方法分別給出了水面半無限和有限長油膜下油滴輸移擴散方程的解析解和數值解。武周虎［6-7］還采用解析方法給出了水庫傾斜岸坡地形岸邊點源排放各向同性擴散條件下的污染混合區計算方法和簡化條件。在此基礎上，武周虎等［8-9］基于鏡像法原理和角形域平面鏡映射試驗，給出了各向異性擴散條件下的角形域映射圖，進而給出傾斜岸坡地形岸邊點源排放各向異性擴散條件下的污染物質量濃度分布的理論解。韋細姣［10］對龍江金城江區段進行水污染調查，利用二維水質數學模型進行水質達標分析。薛紅琴等［11］在考慮了兩岸邊界的一次反射、污染物的降解和背景值共同影響的條件下，給出排污口在任意位置處的污染帶特征參數的計算方法。顧莉等［12］從河道分汊口、交匯口、水流特性及污染物輸移特性等4個方面總結了分汊型河道的水流運動特性和污染物輸移擴散規律的相關研究成果，提出亟待加強不同排放方式和不同分汊形態下污染物輸移機制等問題的研究。武周虎［13］基于各向異性擴散條件下的靜止水體中瞬時線源二維擴散的解析解，推導了半無限水面瞬時污染源下和傾斜岸角形域中二維擴散污染物質量濃度分布的理論公式，其局限性在于不能用于常見的岸邊水面任意寬度瞬時污染源情況下的擴散計算。

本文針對文獻［13］半無限水面瞬時污染源的局限性，基于橫向和垂向擴散系數不相等時靜止水體中瞬時線源二維擴散的解析解，推導水面有限寬(任意寬度)瞬時污染源二維擴散的溶解性污染物質量濃度分布，并在順直傾斜岸坡大寬度深水情況下借助于角形域映射圖［8-9］，推導出傾斜岸水面瞬時污染帶下角形域中二維擴散污染物質量濃度分布的理論計算公式，并分析其合理性及應用范圍。

1 水面有限寬瞬時污染源下的二維擴散

如圖1所示，在靜止水體半無限空間的半無限水面上(y≥0，z=0)，存在等強度水面有限寬瞬時污染源(帶)，污染源寬度L＞0，取垂直于yOz平面x方向的單位長度進行分析。

圖1 水面有限寬瞬時污染源下的二維擴散

將水面有限寬瞬時污染源看作由無數個微小的污染線源或微元(即yOz坐標系上的點源，下同)dξ所組成，每個微元的質量為dM=mdξ，其中m為水面污染源強度，對每個微元來說它都要向下、向左和向右邊擴散。設在水面下有一個點P，其坐標為(y，z)，P點到某個污染微元的水平距離為y－ξ，垂直距離為z，在指定時刻P點的污染物質量濃度C(y，z，t)應等于水面各微小污染源擴散到P點的污染物質量濃度dC的疊加。根據文獻［13］，任意一個微小水面污染源擴散至水下P點的污染物質量濃度為

式中:Ey和Ez分別為橫向和垂向擴散系數。

式(1)中ξ從零到L上積分，可以得到由水面有限寬瞬時污染源引起P點的污染物質量濃度為

根據誤差函數 erf(x)的性質，對于固定的(z，t)值，由式(5)得到C(±∞，z，t)=0，Cmax(y，z，t)=C(L/2，z，t);對于固定的(y，t)值，由式(5)得到Cmax(y，z，t)=C(y，0，t)，C(y，∞，t)=0，沿水深的污染物質量濃度分布為半正態曲線。進一步分析發現隨著擴散歷時t的增大，污染物的最大質量濃度減小，但擴散影響深度和橫向影響范圍擴大。

在式(5)中取m=200 g/m2，Ey=0.1 m2/s，Ez=0.01 m2/s，t=1 800 s，L=25 m，計 算 得 到C(0，0，1800)=C(25，0，1800)=10.80 mg/L，Cmax(12.5，0，1800)=13.03 mg/L，并依次計算z=0，z=5 m，z=10m等深線和y=－25 m，y=0，y=25 m 垂線上的C(y，z，1800)。圖2分別給出了靜止水體中水面有限寬瞬時污染源下相應等深線和垂線上的污染物質量濃度分布曲線。由圖2可以看出，靜止水體中水面有限寬瞬時污染源沿水深的質量濃度服從半正態曲線分布，同一y值水面上的質量濃度最大，無限深處質量濃度為零。由于水面有限寬瞬時污染源位于L≥y≥0處，y＜0和y＞L區域的質量濃度是由L≥y≥0區域的污染物擴散產生，所以對同一z值的橫向質量濃度分布在污染源中間y=L/2點下方出現最大值，中間區域出現較平的一段，向兩側呈對稱遞減趨勢。當水面瞬時污染源寬度L很小時，沿橫向的質量濃度分布接近正態曲線。

圖2 水面有限寬瞬時污染源下的污染物質量濃度分布

2 傾斜岸水面瞬時污染帶下的二維擴散

在順直傾斜岸坡大寬度深水條件下，水面有限寬瞬時污染帶下角形域中的二維擴散見圖3(a)，定義域為y≥0，ytanθ≥z≥0。根據文獻［8］給出的橫向和垂向擴散系數不相等的角形域映射原理，圖3(b)給出了傾角θ=60°的角形域映射質量濃度分布疊加示意圖。

圖3 傾斜岸水面瞬時污染帶下的二維擴散

在圖3(b)中，C0(y，z，t)為水面實源產生的二維質量濃度分布，C1(y，z，t)和C2(y，z，t)分別為水面等強度像源和二重像源產生的二維質量濃度分布。C0(y，z，t)的表達式為式(5)，C1(y，z，t)和C2(y，z，t)的表達式分別為式(5)中(y，z)坐標旋轉2θ和4θ得到，即像源和二重像源產生的二維質量濃度分別為

按照擴散方程單獨解的疊加原理，水面有限寬瞬時污染源下角形域中的二維質量濃度分布等于實源、像源和二重像源在定義域內對應坐標點產生的質量濃度分布的疊加，即C(y，z，t)=C0(y，z，t)+C1(y，z，t)+C2(y，z，t)。那么，傾斜岸水面瞬時污染帶下θ=60°角形域中的二維質量濃度分布為

根據文獻［8］的歸納結果，當傾角參數n(n=180°/θ)為自然數時，由式(8)得到傾斜岸水面瞬時污染帶下角形域中的二維質量濃度分布為

3 分析與討論

在式(9)中取L=25m，m=200g/m2，Ey=0.1m2/s，Ez=0.01 m2/s，t=1800s，C(0，0，1800)=10.8nmg/L。分別計算岸坡傾角為 θ=30°，36°，45°，60°和90°(即n=6，5，4，3和2)時，各傾角水面、沿z=ytanθ的傾斜岸坡和y=12.5 m垂線上的污染物質量濃度分布以及各角形域中C=10 mg/L的等質量濃度線分布，見圖4～7。

圖4 各傾角水面污染物質量濃度分布

圖5 沿傾斜岸坡的污染物質量濃度分布

圖6 y=12.5 m垂線上的污染物質量濃度分布

圖7 各角形域中C=10 mg/L的等質量濃度分布線

由圖4和圖5可以看出，受傾斜岸坡角形域邊界反射產生質量濃度疊加的影響，傾角越小，傾斜岸坡頂點質量濃度越高，傾斜岸坡頂點質量濃度與傾角大小成反比，且計算點距離岸坡頂點越近，質量濃度越大;反之，質量濃度越小，當橫坐標y(圖4)或沿傾斜岸坡向水下延伸的距離(圖5)趨于無窮大時質量濃度趨于零。各傾角下水面橫向質量濃度分布和沿傾斜岸坡的質量濃度分布均為單調下降曲線，并以零質量濃度線為漸近線;當 θ=36°(n=5，n為奇數)與 θ=60°(n=3，n為奇數)時，水面橫向質量濃度分布隨橫坐標y的增大先下降到θ=90°時水面橫向質量濃度線之下，而后在其下方以該質量濃度線為漸近線。θ=36°(n=5，n為奇數)與 θ=45°(n=4，n為偶數)時水面橫向質量濃度分布線出現交叉現象，θ=60°(n=3，n為奇數)與 θ=45°(n=4，n為偶數)時沿傾斜岸坡的質量濃度分布線出現交叉現象，反映了n為奇、偶數時角形域的邊界反射產生質量濃度疊加的影響規律不同。

由圖6可以看出，各角形域在y=12.5 m垂線上的質量濃度分布隨水深的增大單調減小，θ=60°，90°和45°時y=12.5m垂線上的質量濃度分布出現交叉現象。由圖7可以看出，各角形域中C=10 mg/L的等質量濃度分布線沿傾斜岸坡出現向下擴散的趨勢，在遠離傾斜岸坡時等質量濃度分布線向水面上升并出現雙重變化特征:一是當θ=36°(n=5，n為奇數)與 θ=60°(n=3，n為奇數)時，C=10 mg/L 的等質量濃度分布線隨橫坐標y的增大與θ=90°等質量濃度分布線交叉;二是當θ=30°(n=6，n為偶數)與 θ=45°(n=4，n為偶數)時，C=10 mg/L 的等質量濃度分布線隨橫坐標y的增大呈單調上升趨勢，并以θ=90°等質量濃度分布線為漸近線。這主要取決于在不同傾角時實源、像源和二重像源的分布位置和二維質量濃度分布的疊加。

由以上分析結果可以看出，傾斜岸水面瞬時污染帶下二維擴散污染物質量濃度分布具有隨n為奇、偶數而不同的特性，討論如下:

a.當 θ=180°(n=1)時，具有水面一次邊界反射的污染物擴散為角形域擴散的特例，由式(9)得到水面有限寬瞬時污染源條件下二維擴散的污染物質量濃度分布為

定義域為y≥0，∞＞z＞－∞。這一結果與式(5)完全一致。

b. 當 θ=90°(n=2)，且水面污染源寬度L→∞時，具有水面和垂直岸各一次邊界反射的污染物擴散為角形域擴散的另一個特例，由式(9)得到半無限水面瞬時污染源條件下二維擴散的污染物質量濃度分布為

定義域為y≥0，z≥0。式(11)表明污染物質量濃度分布與橫坐標y和橫向擴散系數Ey無關，這一結果與文獻［2］水面有邊界反射的瞬時平面源一維(垂向)擴散的結果完全一致。

c.當角形域內為各向同性擴散(Ey=Ez=E)水體時，對于沿z=ytanθ傾斜岸坡的等強度有限寬瞬時污染源，角形域中二維擴散污染物質量濃度分布的理論計算公式可由式(9)進行坐標旋轉得到:

取Ey=Ez=E=0.01 m2/s，L=25 m，其他參數同前，分別采用式(9)和式(12)計算 θ=45°，60°和 90°時水面和岸坡有限寬瞬時污染源條件下的污染物質量濃度分布，進行C=10 mg/L的等質量濃度線分析比較，見圖8。由圖8可以看出，水面與傾斜岸坡有限寬瞬時污染源在角形域中形成的等質量濃度線為相應傾角角平分線的對稱曲線，即對于角形域內的各向同性擴散，水面有限寬污染源向水下的擴散與傾斜岸水面有限寬污染源向上的擴散和邊界反射的機理相同，因此其等質量濃度線是以角平分線為對稱軸的對稱曲線。

圖8 水面與岸坡有限寬瞬時污染源條件下C=10 mg/L的等質量濃度線比較

d.當水面污染帶寬度L→∞時，式(9)變為

當自變量小于零時，利用誤差函數是奇函數的性質進行計算。這一結果與文獻［13］半無限水面瞬時污染源在角形域中相應條件下擴散的質量濃度分布完全一致。

以上討論說明了文中傾斜岸水面瞬時污染帶下二維擴散的污染物質量濃度分布理論計算公式的合理性。

4 結論

a.在橫向和垂向擴散系數不相等的條件下，經過嚴格的數學推導，給出了水面有限寬瞬時污染源和傾斜岸水面瞬時污染帶條件下二維擴散污染物質量濃度分布的理論計算公式。

b.在傾斜岸水面瞬時污染帶條件下，角形域傾角對污染物的質量濃度分布影響較大，角形域內質量濃度分布具有隨傾角參數n為奇、偶數而不同的特性。

c.計算點距離岸坡頂點越近，角形域傾角對污染物質量濃度分布的影響越大;橫坐標越大，影響越小;水深越大，影響也越小。

d.本文所推導的公式適用于順直傾斜岸坡大寬度深水情況，滿足傾角參數n為自然數的傾斜岸水面瞬時污染帶條件下二維擴散污染物質量濃度分布的計算。

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