Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫應力強度因子和應變能釋放率的關系

劉夢和，王向東，邵 兵

(河海大學力學與材料學院，江蘇 南京 210098)

斷裂力學是以含裂縫構件為研究對象，分析在各種外界因素(荷載、腐蝕和溫變等)作用下裂縫穩定擴展或失穩擴展的規律，研究含裂縫構件安全性的學科［1］。目前在線彈性范圍內，對裂縫的安全性評估主要采用應力強度因子K和應變能釋放率G兩個物理量。

實際工程中，評價大壩等結構中裂縫的安全性時，K及其判據［2-3］廣泛應用于裂縫的穩定性分析。鄧愛民等［4］對混凝土進行拉剪斷裂試驗，得到了考慮斷裂過程區的Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的斷裂K判據。近十幾年來，饒秋華等［5-8］一直著力于研究混凝土和巖石等多種材料的斷裂參數，得到了它們的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂縫的斷裂韌度及相應的測試方法。

在線彈性斷裂力學中，對單一型裂縫的K與G的關系已有完善的研究和相應的理論公式［9］;對復合型裂縫的K與G的關系研究在國內外相關文獻中很少見到。而在實際工程中，大部分裂縫都是復合型裂縫，僅將單一型裂縫的應變能釋放率疊加得到復合型裂縫的G，不能很好地反映各單一型裂縫對復合型裂縫結果的影響。因此，有必要從理論上對復合型裂縫K和G的關系進行研究，并在此關系基礎上建立復合型裂縫的斷裂G判據，以此更好地評價工程結構中裂縫的穩定性。

Jones等［10－12］認為結構的復合型裂縫問題可簡化為平面裂縫問題，有利于進行理論分析及有限元、邊界元模擬分析。因此，本文采用平面板裂縫模型，從線彈性斷裂力學理論的能量法入手，以單一型裂縫K與G的關系為基礎，指導Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫的K與G的關系，并應用有限元模擬計算對所得公式進行驗證。

1 Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫K與G關系公式的理論推導

Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫的G，并不是將Ⅰ型和Ⅱ型裂縫的G簡單疊加。Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫的K與G的關系，可以按照裂縫閉合單位面積所做的功等于裂縫擴展單位面積所釋放的能量的方法進行研究。

Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫閉合單位面積所做的總功等于Ⅰ型和Ⅱ型裂縫閉合單位面積所做功的和。根據材料力學中功的互等原理，采用先加載正應力σ、再加載剪應力τ的方法計算總內力功ΔU，與采用先加載剪應力τ、再加載正應力σ的方法計算結果相同。本文采用第一種加載方式，如圖1所示，假設原半長為a的裂縫，在正應力 σ的單獨作用下，擴展微小長度Δa，擴展角為0°;在剪應力τ的單獨作用下，擴展微小長度Δb，擴展角為 θ;在先加正應力σ、再加剪應力τ的作用下將擴展微小長度 Δc，擴展角為θ0。在線彈性情況下，Δa和Δb可合成為Δc。

圖1 Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫擴展方向

通過對Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫的加荷載過程分析，在線彈性范圍內，Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫的總功ΔU的計算與加載順序無關。因此可先分別計算正應力σ單獨作用下裂縫擴展所做的功 ΔUⅠ及剪應力 τ單獨作用下裂縫擴展所做的功ΔUⅡ，再計算Ⅰ型和Ⅱ型裂縫的應力場在Ⅱ型和Ⅰ型裂縫的位移場上所做的功ΔUⅠ，Ⅱ，三者的總和即為Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫在正應力σ及剪應力τ共同作用下的總功ΔU。

式中:B為板的厚度;u和v分別是x和y方向的位移分量;σx，σy，，τxy為應力分量;E′為彈性系數，平面應變狀態時，E′=E/(1－ν2)，平面應力狀態時，E′=E，其中E為彈性模量，ν為泊松比;KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型裂縫的應力強度因子;a12為與泊松比ν有關的量。

Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫擴展所做總功為

裂縫擴展面積ΔA=BΔc，由三角形正弦定理簡化得Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫的應變能釋放率GⅠ－Ⅱ為

圖2是KⅠ不同時，GⅠ－Ⅱ與KⅡ的關系。從圖2中可以看出，KⅠ一定時，GⅠ－Ⅱ隨著KⅡ的增大而增大，GⅠ－Ⅱ近似為KⅡ的二次函數。當KⅡ一定時，GⅠ－Ⅱ也隨著KⅠ的增大而增大，GⅠ－Ⅱ也近似為KⅠ的二次函數。從式(5)可見，KⅠ和KⅡ這兩個變量在公式中具有一定的對稱性，即交換KⅠ和KⅡ的次序，并不影響其結果，這也能驗證了G與加載次序無關的結論。

圖2 不同 KⅠ時 GⅠ－Ⅱ與 KⅡ的關系

2 Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫K與G關系公式的驗證

2.1 公式的退化驗證

根據最大應力準則，Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫的擴展方向是沿周向應力最大的方向，由此可以計算出Ⅰ型和Ⅱ型裂縫的擴展角:Ⅰ型裂縫，KⅡ=0，擴展角 θ1=0°;Ⅱ型裂縫，KⅠ=0，擴展角 θ2=θ=－70.5°。由式(5)得到K與G的關系:

式(6)表明式(5)同樣適用于單一型裂縫K與G的關系。

2.2 公式的有限元驗證

以一帶中裂縫的平板為研究對象，應用有限元分析軟件Abaqus建立Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫計算模型。荷載和約束情況如圖3所示，板的底邊x和y方向的位移均約束，在板的上表面加上正應力σ和切應力τ，兩側邊加上切應力τ，σ=τ=2 MPa。圖4為平板模型有限元網格，模型中裂縫的長度為平板寬度的1/14，半裂縫長a=2.3 cm，材料的彈性模量E=21 GPa，泊松比ν=0.3。圖5為裂縫尖端周圍區域網格的放大圖，每個裂縫尖端附近都定義了16個奇異單元。=0.474 MPa·m1/2，KⅡ=0.427MPa·m1/2代入公式(5)，計算得到Ⅰ－Ⅱ復合

圖3 平板荷載及約束情況

圖4 平板模型有限元網格

圖5 裂縫尖端周圍有限元網格

將Abaqus建模計算所得KⅠ型裂縫的應變能釋放率GⅠ－Ⅱ=19.9 N/m，有限元直接計算出的應變能釋放率GⅠ－Ⅱ=19.4 N/m，二者的絕對誤差為0.5N/m，相對誤差為2.5%，小于5%，驗證了所推導公式的合理性。

3 結論

a.通過線彈性斷裂力學理論推導出Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫K與G的關系公式，KⅠ和KⅡ這兩個變量具有對稱性;Ⅰ型和Ⅱ型裂縫產生的GⅠ和GⅡ在Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫產生的GⅠ－Ⅱ中所占比例在公式中得以反映;此外Ⅰ型和Ⅱ型裂縫之間的相互作用產生的應變能釋放率在GⅠ－Ⅱ公式中也有所體現。

b.Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫K與G的關系式可以簡化為單一型裂縫的K與G的關系式。

c.通過有限元計算得到的Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫的應變能釋放率與公式計算結果吻合較好，誤差僅為2.5%，驗證了推導公式的合理性。

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