再論圓管明渠均勻流正常水深的直接計算公式

2012-09-06 10:29:24李風玲

水利水電科技進展 2012年6期

文輝，李風玲

(惠州學院建筑與土木工程系，廣東惠州 516007)

圓管具有結構形式簡單和力學條件好等特點，是給水排水工程和水利工程中應用最廣泛的輸水形式。但圓管均勻流方程和臨界流方程均為超越函數方程，求解這些含三角函數的高次隱函數方程，是十分復雜和困難的，無論是采用查圖、查表還是迭代試算或是編程計算都比較繁瑣。為此，國內不少學者對正常水深的直接計算［1-7］和臨界水深的直接計算［8-11］都作了較深入的研究，得到一些近似的直接計算公式，但存在著公式形式復雜或計算精度不高等諸多缺陷，一定程度上影響了公式的使用與推廣，其中王正中的反余弦函數公式［3］最簡捷，只是精度稍差，本文將以此為基礎，開展進一步研究。

1 圓管明渠均勻流正常水深的基本方程

圓管明渠的正常水深采用均勻流計算公式，以曼寧公式表示的圓管明渠均勻流基本方程［12］為

式中:Q為設計流量，m3/s;i為管道坡降;A為圓管斷面過水面積，m2;n為糙率;χ為濕周，m。

1.1 圓管明渠的水力要素

圓管斷面如圖1所示。圓管明渠的水力要素計算公式為

式中:d為圓管直徑，m;θ為過水斷面充滿角，rad;h為正常水深，m。

圖1 圓管斷面

1.2 圓管明渠均勻流正常水深的非線性方程

將式(2)代入式(1)，整理便得求解圓管明渠均勻流正常水深的非線性方程:

由此可知，圓管明渠均勻流正常水深的計算就是非線性方程式(3)的求根問題。公式左側為圓管和水流的已知量，為了方便研究，令

此方程為三角函數方程，無法直接求解。

1.3 圓管明渠均勻流正常水深計算公式的適用范圍

理論上正常水深的適用范圍應為0≤β≤1，目的是為了防止因水位的細微變化或波浪等的影響而導致明滿流交替或封頂的現象發生，保證水面以上空氣暢通及水流狀態穩定。給水排水工程規范和水利工程規范等要求凈空面積不應小于隧洞斷面面積的15%，據此得出計算公式的適用上限為

式中:α為無量綱參數;β為無量綱正常水深(正常水深和圓管直徑之比)。

將式(4)和式(5)代入式(3)可得:

式中:A0為圓管斷面面積。

公式(8)為三角超越方程，試算解得 θ=4.3917，所以h上=0.80d。

考慮到大多數工程實際應用情況，過小水深沒有太大實際意義，故下限值h下=0.10d，所以正常水深計算公式的工程適用范圍為0.1≤β≤0.8。

2 圓管明渠均勻流正常水深的新計算公式

公式(6)為三角函數方程，本文將以反余弦函數構造計算公式形式，通過曲線擬合和優化原理，兼顧公式簡捷和結果精度，提出新的計算公式:

3 誤差分析和公式評價

目前主要的幾種圓管明渠均勻流正常水深的直接計算公式為

a. 韓會玲公式［1］:

b. 陳水俤公式［2］:

c. 王正中公式［3］:

d. 文輝公式［4］:

e. 趙延風公式［5］:

由表1可知:韓會玲公式屬于線性函數形式，形式最簡單，但誤差最大，最大相對誤差為104.80%;陳水俤公式屬于分段函數形式，形式最復雜，誤差很大，最大相對誤差為－6.90%;王正中公式屬于三角函數形式，形式簡單，誤差大，最大相對誤差為－3.83%;文輝公式也屬于分段函數形式，形式較復雜，誤差較大，最大相對誤差為1.26%;趙延風公式屬于指數函數形式，形式較復雜，誤差較小，最大相對誤差為0.73%;本文公式也屬于三角函數形式，形式簡單且誤差最小，最大相對誤差為0.71%。