幾個不常見的三角多倍角公式

劉小寧

（武漢軟件工程職業學院 湖北 武漢：430205）

利用初等方法解決數學問題有時具有尖、深的特點［1－3］和取得意想不到的結果，文中利用復數棣莫弗定理等初等數學方法推導得到了幾個不常見的三角多倍角公式，可供有關人員在教學與科研時參考。

1 三角多倍角公式

設n為正整數，則存在如下三角多倍角公式：

式（1）－（8）在有關的數學手冊［4－5］及三角書籍［6］不常見。

2 引 理

為證明公式（1）－（8），先敘述2個引理。

引理1［4，6］對于正整數n，有

引理1是著名的復數棣莫弗（De Moivre）定理。

引理2［7］對于正整數n，有

式（14）－（15）中，高斯符號［n］表示不超過n的最大整數。

引理2是二項式公式的2個等價形式［7］。

3 多倍角公式的證明

式（1）的證明：由引理2的式（14）可得

令式（16）中a＝cosθ＋isinθ，b＝－cosθ＋isinθ；由引理1可知：a2n＋1＋b2n＋1＝2isin（2n＋1）θ；因為a＋b＝2isinθ及ab＝－1，注意到i2（n－j）＋1＝i（－1）n－j，由式（16）即得式（1）。

式（2）的證明：由引理2的式（15）可得

令式（17）中a＝cosθ＋isinθ，b＝cosθ－isinθ；由引理1可知：a2n＋1－b2n＋1＝2isin（2n＋1）θ；因為a＋b＝2cosθ，a－b＝2isinθ及ab＝1，根據式（17）即得式（2）。

式（3）的證明：

令式（16）中a＝cosθ＋isinθ，b＝cosθ－isinθ；由引理1可知：a2n＋1＋b2n＋1＝2cos（2n＋1）θ；因為a＋b＝2cosθ及ab＝1，由此即得式（3）。

式（4）的證明：

令式（17）中a＝cosθ＋isinθ，b＝－cosθ＋isinθ；由引理1可知：a2n＋1－b2n＋1＝2isin（2n＋1）θ；因為a－b＝2cosθ，a＋b＝2isinθ及ab＝－1，注意到i2（n－j）＝（－1）n－j，根據式（17）即得式（4）。

式（5）的證明：由引理2的式（15）可得

令式（18）中a＝cosθ＋isinθ，b＝－cosθ＋isinθ；由引理1可知：a2n－b2n＝2isin2nθ；因為a－b＝2cosθ，a＋b＝2isinθ及ab＝－1，注意到i2（n－j）－1＝i（－1）n－j，根據式（18）即得式（5）。

式（6）的證明：

令式（18）中a＝cosθ＋isinθ，b＝cosθ－isinθ；由引理1可知：a2n－b2n＝2isin2nθ；因為a－b＝2isinθ，a＋b＝2cosθ及ab＝1，由此即得式（6）。

式（7）的證明：由引理2的式（14）可得

令式（19）中a＝cosθ＋isinθ，b＝cosθ－isinθ；由引理1可知：a2n＋b2n＝2cos2nθ；因為a＋b＝2cosθ及ab＝1，根據式（19）即得式（7）。

式（8）的證明：

令式（19）中a＝cosθ＋isinθ，b＝－cosθ＋isinθ；由引理1可知：a2n＋b2n＝2cos2nθ；因為a＋b＝2isinθ及ab＝－1，注意到i2（n－j）＝（－1）n－j，由式（19）即得式（8）。

式（9）－（12）的簡證：

把引理1利用二項式公式展開，比較其實部與虛部系數即可得到式（9）－（12）。

［1］劉小寧.用初等方法求一個無窮級數和［J］.武漢工程職業技術學院學報，2011，23（1）：79－80.

［2］劉小寧.直接計算貝努利數的新公式［J］.武漢工程職業技術學院學報，2011，23（3）：79－80.

［3］劉小寧.涉及變量個數的兩個不等式［J］.武漢工程職業技術學院學報，2012，24（2）：61－62.

［4］葉其孝，沈永歡.實用數學手冊（第2版）［M］.科學出版社，2006.

［5］《數學手冊》編寫組.數學手冊［M］.高等教育出版社，1979.

［6］劉楚炤，李永銀.復數與三角［M］.湖北教育出版社，1983.

［7］唐祐華.一個無名公式的問世 多個著名公式的等價［J］.湘潭大學自然科學學報，1986，（4）：1－7.