單位圓上調和映照的單葉半徑

朱劍峰，王朝祥，黃心中

（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

單位圓上調和映照的單葉半徑

設f（z）＝h（z）＋為定義在單位圓盤U上的調和映照，滿足條件證明當0＜p≤1時，f（z）在圓盤｜z｜＜r0＝1／（21－p）內單葉；當1＜p≤2時，f（z）在圓盤｜z｜＜R0＝1／（22－p）內為凸像函數.所得結果推廣了M.Jahangiri等和M.?ztürk等的結論.

調和映照；單葉半徑；星像函數；凸像函數

1 預備知識

h（z）和g（z）為D上的解析函數，稱h（z）為f（z）的解析部分，g（z）為f（z）的共軛解析部分.由文獻［1］可知：f（z）為D上的局部單葉保向映照的充要條件是｜h′（z）｜＞｜g′（z）｜，對于任意的z∈D.

記U＝｛z∶｜z｜＜1｝為單位圓盤，如果式（1）中的f（z）滿足f（0）＝fz（0）－1＝0，則有

設f（z）＝u（x，y）＋i v（x，y）為定義在區域D上的連續函數，如果u（x，y），v（x，y）皆為實調和函數，則稱f（z）為D上的復調和函數.又若D為單連通區域，則f（z）可寫成

定義SH類函數為一族定義在單位圓盤U上的單葉保向調和映照且滿足條件（2）.對于任意的f∈SH，若其像域f（U）為星像，則稱f（z）為星像調和函數，記為f∈S＊H.類似地若其像域f（U）為凸像，則稱f（z）為凸像調和函數，記為f∈KH.關于星像調和與凸像調和函數的特征，有如下充要條件［2］，即

M.Jahangiri等［3－4］利用系數不等式證明了下列的定理.

定理A 設f＝h＋ˉg為定義在單位圓盤U上的調和映照，其中h和g的定義如式（2），滿足

則f（z）為U上的單葉、保向近于凸映照.式（5）的上限是精確的，因為對于任意的δ＞0，f（z）＝z＋內已不在單葉.進一步地，若有則f∈KH為U上的凸像函數.這里的上限同樣是精確的，因為函數f（z）＝z＋，δ＞0表明式（6）的上界已無法再改進.

M.?ztürk等［5］進一步研究了上述問題.設f＝h＋gˉ為單位圓盤U上的調和函數，其中h，g由式（2）定義，若其系數滿足

則f（z）為凸像函數.

2 主要結論及其證明

定理1 設f＝h＋ˉg為定義在單位圓盤U上的調和映照，h和g如式（2）定義，對于任意的0＜p≤1，若f（z）滿足

［1］ LEWY H.On the non－vanishing of the Jocobian in certain one－to－one mappings［J］.Bull Am Math Soc，1936，42（10）：689－692.

［2］ AHUJA P.Planar harmonic univalent and related mappings［J］.Journal of Inequalitities in Pure and Applied Mathematics，2005，6（4）：1－18.

［3］ JAHANGIRI M，SILVERMAN H.Harmonic close－to－convex mappings［J］.Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis，2002，15（1）：23－28.

［4］ JAHANGIRI M，SILVERMAN H.Meromorphic univalent harmonic functions with negative coefficients［J］.Bull Korean Math Soc，1999，36（4）：763－770.

［5］ ?ZTüRK M，YALCIN S.On univalent harmonic functions［J］.Journal of Inequalities in Pure and Applies Mathematics，2002，3（4）：1－8.

［6］ WIDOMAKI J，GREGORCZYK M.Harmonic mappings in the exterior of the unit disk［J］.Annales UMCS，Mathematica，2010，64（1）：63－73.

Univalent Radius of Harmonic Mapping in the Unit Disk

ZHU Jian－feng，WANG Chao－xiang，HUANG Xin－zhong
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

（｜an｜＋｜bn｜）≤1－｜b1｜.In this paper we prove that：if 0＜p≤1，then f（z）is univalent in the diskif 1＜p≤2，then f（z）is convex in the disk｜z｜＜R＝.These improve the corresponding results made by M.Jahan－0giri and M.?ztürk.

harmonic mapping；univalent radius；starlike mapping；convexity mapping

1000－5013（2012）05－0581－03

朱劍峰，王朝祥，黃心中

（華僑大學數學科學學院，福建泉州362021）

O 174.2

A

（責任編輯：黃曉楠 英文審校：黃心中）

2011－10－12

朱劍峰（1980－），男，講師，主要從事函數論的研究.E－mail：flandy＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（11101165）；國務院僑辦科研基金資助項目（10QZR22）