用Normal Form直接法研究壁板的熱顫振與控制

趙秀芳，曹樹謙，2，3

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津 300072;2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072;3.內(nèi)燃機(jī)燃燒學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

壁板熱顫振是一種自激振動(dòng)，目前主要基于von Karman板理論對(duì)超音速和高超音速流中的壁板進(jìn)行非線性熱顫振分析。Xue等［1］應(yīng)用有限單元頻域的方法分析了任意溫度下壁板的顫振，Zhou等［2］對(duì)氣動(dòng)加熱環(huán)境中復(fù)合材料板的非線性顫振進(jìn)行了功率譜和時(shí)域響應(yīng)的分析，Nydick等［3］等研究了高超音速氣流中小曲率壁板的熱顫振，并考慮了壁板在飛行器表面的位置。國(guó)內(nèi)對(duì)壁板熱顫振的研究相對(duì)較少，葉獻(xiàn)輝等［4］利用數(shù)值方法研究了三維壁板的熱顫振特性，給出了壁板振動(dòng)的五種形態(tài):衰減振動(dòng)、極限環(huán)振動(dòng)、后屈曲振動(dòng)、非簡(jiǎn)諧的周期性振動(dòng)和混沌型振動(dòng)，楊智春［5］等建立了超音速氣流中曲壁板的運(yùn)動(dòng)方程，并用分岔理論對(duì)其進(jìn)行了分析。

本文建立了無(wú)限展長(zhǎng)二維壁板的熱顫振方程，利用一種更為簡(jiǎn)便的Normal Form直接計(jì)算方法研究壁板Hopf分岔，將wash-out濾波器技術(shù)與 Normal Form直接法相結(jié)合，對(duì)壁板熱顫振進(jìn)行主動(dòng)控制，再用數(shù)值模擬加以驗(yàn)證。

1 運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)邊簡(jiǎn)支無(wú)限展長(zhǎng)二維壁板的模型如圖1所示，壁板的上表面有氣流流過，氣流密度、速度和馬赫數(shù)分別記為 ρ∞、U∞、M∞。根據(jù) Kirchhoff假設(shè)，基于 Von Karman大變形應(yīng)變—位移關(guān)系，并考慮溫度效應(yīng)，得到壁板的運(yùn)動(dòng)方程［6］:

圖1 壁板模型Fig.1 Model of the twodimensional panel

由超音速活塞理論，氣動(dòng)載荷qa可表示為:

引入下列無(wú)量綱量:

方程(1)化為:

這里，U=η/M∞為質(zhì)量比，()'=?/?ξ，β為無(wú)量綱動(dòng)壓。

滿足邊界條件的壁板位移函數(shù)為:

已有的研究表明，超音速氣流中二維平壁板的顫振主要是由于前兩階模態(tài)的耦合所致，參照文獻(xiàn)［8-9］，這里取前兩階模態(tài)，采用Galerkin方法，將運(yùn)動(dòng)方程(3)離散化，并轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間，得到:

其中，

2 Hopf分岔Normal Form

系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)(0，0，0，0)處的 Jacobi矩陣為 J=A，該矩陣的特征方程為:

非線性項(xiàng)系數(shù)C的表達(dá)式為:

其中 ψ*滿足 ATψ*=iωψ*，〈ψ*，φ〉 =1。

3 壁板熱顫振控制

為遲滯系統(tǒng)Hopf分岔的產(chǎn)生，引入wash-out濾波器技術(shù)［11］，結(jié)合Normal Form直接法對(duì)壁板熱顫振進(jìn)行主動(dòng)控制。

受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

其中:kl和 kn分別為線性和非線性控制增益，取d=0.5。

欲將系統(tǒng)的Hopf分岔遲滯到β=240，需要設(shè)計(jì)wash-out濾波器的線性控制增益kl，而要求保持分岔類型仍為超臨界Hopf分岔，則是通過計(jì)算受控系統(tǒng)Hopf分岔Normal Form系數(shù)的方法確定非線性增益kn來加以實(shí)現(xiàn)的。

非線性項(xiàng)系數(shù)C1的計(jì)算方法同上，最后求得:

只需實(shí)部Re(C1)＜0，即kn＞ -3 289.277 3就可以保證受控系統(tǒng)在β=240處發(fā)生超臨界Hopf分岔。

4 數(shù)值模擬與分析

利用Runge-Kutta方法分別對(duì)式(5)、式(10)進(jìn)行數(shù)值分析。限于篇幅限制，這里僅給出了原系統(tǒng)和受控系統(tǒng)第一階模態(tài)的相圖，如圖2所示?？梢钥吹疆?dāng)β＜βc時(shí)，相圖存在穩(wěn)定的吸引子，當(dāng) β＞βc時(shí)，相圖為穩(wěn)定的極限環(huán)。這與理論分析是吻合的。

圖2 原系統(tǒng)和受控系統(tǒng)在分岔點(diǎn)前后的相圖Fig.2 Phase maps before and after the bifurcation without and with control

圖3 原系統(tǒng)和受控系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram without and with control

圖4 不同控制參數(shù)kn下的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams for different control parameter kn

5 結(jié)論

本文研究了超音速氣流中二維壁板的熱顫振。首先確定系統(tǒng)的超臨界Hopf分岔點(diǎn)，然后采用一種方便簡(jiǎn)捷的Normal Form直接法求得Hopf分岔點(diǎn)的Normal Form。將washout濾波器技術(shù)與Normal Form直接法相結(jié)合，設(shè)計(jì)了控制器的線性、非線性增益，有效的降低了顫振極限環(huán)的幅值。利用龍格-庫(kù)塔法驗(yàn)證了規(guī)范型求解方法的正確性以及控制器設(shè)計(jì)的有效性。以上的研究工作將為立方非線性系統(tǒng)的降維和超高音速氣流中壁板的非線性動(dòng)力學(xué)分析提供一定的理論依據(jù)。

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