Hermitian矩陣空間上的1蛐2-Jordan可乘保極小秩映射

郭 鈺，賈艷萍

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

Hermitian矩陣空間上的1蛐2-Jordan可乘保極小秩映射

郭 鈺，賈艷萍

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

證明了Hermitian矩陣空間上的1/2-Jordan可乘保極小秩映射是可加的而且是酉相似變換或者是轉置映射復合酉相似變換。

Hermitian矩陣；1/2-Jordan可乘映射；極小秩

設R為環，對于任意的A，B∈R，定義AoB＝1/2（AB+BA）。若映射φ：R→R滿足φ（AoB）＝φ（A）oφ（B）對所有A，B∈R都成立，則稱φ為R上的1/2-Jordan可乘映射。

令C表示復數域。Mn表示n×n復矩陣代數。對于A∈Mn，rank（A）表示矩陣A的秩，mr（A）＝min｛rank（A-λI）：λ∈C｝稱為A的極小秩［1-3］。記Γk＝｛A：mr（A）＝k｝，映射φ：Mn→Mn若滿足φ（Γk）?Γk，k＝0，1，…，n-1，則稱φ為保極小秩映射，若φ為1/2-Jordan可乘映射且保極小秩，則稱φ為1/2-Jordan可乘保極小秩映射。。

極小秩是建筑、工程、控制等方面重要的不變量之一［4-6］。矩陣的極小秩是與矩陣的不變因子的個數密切關聯的概念。對于A∈Mn，用i（A）表示A的非平凡不變因子的個數，則有mr（A）+i（A）＝n［7］。因此，保極小秩的映射同時也是保持矩陣的非平凡不變因子的映射。

Hn表示n×nHermitian矩陣空間。討論Hn上的1/2-Jordan可乘保極小秩映射。注意到，在多數情況下，算子代數上保持算子的某種性質或算子之間的某種關系不變的可乘映射是可加的。比如，B（H）（Hilbert空間上的有界線性算子全體）上的有界保秩可乘映射是可加的［8］，矩陣代數上的保秩（保譜半徑或保數值域半徑）可乘映射也是可加的［9］，因而這種映射本質上是環同態。將證明Hn上的1/2-Jordan可乘保極小秩映射也是可加的，進而是環同態。

下面給出一些記號。對于A∈Mn，At表示A的轉置矩陣。設τ為復數域C上的映射，定義Aτ＝［τ（aij）］。Pn表示Hn中的冪等矩陣全體（即為投影）。和分別表示Pn中的k秩矩陣全體和Hn中的k秩矩陣全體，1≤k≤n。Eij表示第i行第j列為1，其他位置都為0的矩陣。

由極小秩的定義可知，對于A∈Mn，n≥2，A的極小秩具有如下性質：

（a）平移不變性：mr（A+λI）＝mr（A），λ∈C；

（b）相似不變性：mr（TAT-1）＝mr（A）對任意可逆的T∈Mn成立；

（c）數乘不變性：mr（λA）＝mr（A），0≠λ∈C；

（d）0≤mr（A）≤n-1且mr（A）≤rank（A）；

（e）rank（A）＝1?mr（A）＝1；

（f）對任意單射環同態τ：C→C有mr（Aτ）＝mr（A）成立；

（g）mr（A）＝0?A∈CI；

下面給出本文主要結論及證明。

定理1 設n≥2，1/2-Jordan可乘單射φ：Hn→Hn保極小秩，則存在酉矩陣U∈Mn使得或者φ（A）＝UAU*對所有A∈Hn成立，或者φ（A）＝UAtU*對所有A∈Hn成立。

證明 分幾步證明。斷言1 φ（I）＝I，φ（0）＝0。

設φ（I）＝αI，φ（0）＝βI，α，β∈C。對任意A∈（C），有φ（0）＝φ（0oA）＝φ（0）oφ（A）＝βI，蘊含φ（A）＝I或者β=0。顯然φ（A）≠I，故φ（0）＝0。對任意P∈Pn，φ（P）＝φ（PoP）＝φ2（P），即φ（Pn）?Pn。因此，α2＝α。若α＝0，則φ（A）＝φ（AoI）＝0，矛盾。故φ（I）＝I。

斷言2 φ在偏序集Pn上保序保正交。

若P1，P2∈Pn，P1≤P2（即P1P2＝P2P1＝P1），則φ（P1）=φ（P1oP2）＝φ（P1）oφ（P2），即φ（P1）φ（P2）+φ（P2）φ（P1）＝2φ（P1），用φ（P1）分別左乘和右乘上式，可得φ（P1）φ（P2）＝φ（P2）φ（P1）＝φ（P1），即φ（P1）≤φ（P2）。

若P1⊥P2，

則0＝φ（P1oP2）＝φ（P1）oφ（P2）。

因此φ（P1）oφ（P2）＝0。用φ（P1）分別左乘和右乘上式，可得φ（P1）φ（P2）＝φ（P2）φ（P1）＝0，即φ（P1）⊥φ（P2）。

斷言3 存在保單位元的映射τ：C→C使得φ（λA）＝τ（λ）φ（A）對所有A∈Hn，λ∈C成立。

對任意λ∈C，A∈Hn，φ（λA）＝φ（λIoA）＝φ（λI）oφ（A）。設φ（λI）＝τ（λ）I，則φ（λA）＝τ（λ）φ（A）。易見，τ：C→C為保單位元的映射。

由φ（P）＝φ（P2）＝φ2（P），也就是（δy?y+ξI）2＝δy?y+ξI，從而δ2+2ξδ＝1，ξ2＝ξ。所以ξ＝0。此即φ把一秩冪等元映為一秩冪等元。

證明ξ＝0，δ＝1。若ξ＝1，取秩一投影，z?z與x?x正交，則由斷言2可知，φ（x?x）與φ（z?z）正交，矛盾。

斷言5 若P1，P2，…，Pk是一組兩兩正交的一秩投影等元，記P=P1+P2+…+Pk，則φ（P）＝φ（P1）+φ（P2）+…+φ（Pk），且φ（Pi）⊥φ（Pj），i≠j。

由φ的保序性可知φ（P1）+φ（P2）+…+φ（Pk）≤φ（P），且容易證明當k＞n-k時，mr（P）＝n-k；當k＜n-k時，mr（P）＝k。

當n＝2時，結論顯然成立。故只需考慮n≥3的情形。若k＝n，由φ（I）＝I，結論顯然成立。以下考慮k＜n的情形。又可分為三種不同情形：；。其中表示不超過的最大整數。若，則φ（P）＝Q1+Q2+…+Qk，或者φ（P）＝T1+T2+…+Tk+I，其中Q1，Q2，…，Qk是一組兩兩正交的一秩投影，-T1，-T2，…，-Tk是一組兩兩正交的一秩投影。記-（T1+T2+Λ+Tk）＝D，則I-D為k個一秩投影的和。另一方面，φ（P1）+φ（P2）+…+φ（Pk）≤φ（P），從而φ（P）＝φ（P1）+φ（P2）+…+φ（Pk）。

則mr（P）＝n-k，

由 φ（P1）+φ（P2）+…+φ（Pk）≤φ（P）

可知，只能φ（P）＝φ（P1）+φ（P2）+…+φ（Pk）。

φ（P）＝φ（P1）+φ（P2）+…+φ（Pk）+Sk+1+…+Sn-k，

則 φ（P）φ（I-P）＝（φ（P1）+φ（P2）+…+φ（Pk）+Sk+1+…+Sn-k）（Q1+Q2+…+Qn-k）≠0，矛盾。

斷言6 若P1，P2，…，Pk是一組兩兩正交的一秩投影，0≠λi∈F，1≤i≤k，則

其中φ（Pi）⊥φ（Pj），i≠j。

容易證明

1≤i≤k。另一方面，由于

從而

斷言7 φ可加。

由譜分解定理可知，任意A∈Hn，存在λi∈C以及一組相互正交的一秩投影Pi，1≤i≤k，使得A＝λ1P1+λ2P2+…+λkPk，由斷言6可知φ保秩。另外，注意到φ是單射，從而由文獻［11］可知φ可加。

由文獻［10］可知，φ可加保秩當且僅當φ為以下形式之一：

1）φ（A）＝εUAU*對所有A∈Hn成立，其中ε∈｛-1，1｝，U∈Mn可逆；

2）φ（A）＝εUAtU*對所有A∈Hn成立，其中ε∈｛-1，1｝，U∈Mn可逆；

因為φ保極小秩，所以ε＝1。另外，由φ為1蛐2-Jordan可乘映射可知U*U＝I，即U為酉矩陣，證畢。

注 由定理1可知1蛐2-Jordan可乘保極小秩映射是保秩的。

對于實對稱矩陣空間的情形，以下結論顯然。我們用Sn表示n×n實對稱矩陣空間，Mn（R）表示n×n實矩陣代數。

推論1 設n≥2，1蛐2-Jordan可乘單射φ：Sn→Sn保極小秩，則存在正交矩陣T∈Mn使得或者φ（A）＝TAT-1對所有A∈Sn成立，或者φ（A）＝TAtT-1對所有A∈Sn成立。

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〔責任編輯 高?！?/p>

Minimal Rank Preserving 1/2-Jordan Maps on the Space of Hermitian Matrices

GUO Yu，JIA Yan-ping
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，we show that the 1蛐2-Jordan maps that preserve the rank on the space of Hermitian matrices are additive，and moreover they are unitary similarity transformations or unitary similarity transformations compound with transpose.

1蛐2-Jordan map；minimal rank；Hermitian matrix

O177.1

A

1674-0874（2012）05-0001-03

2012-05-25

國家自然科學基金項目［11171249］；山西大同大學博士科研啟動經費資助［2011-B-01］

郭鈺（1983-），男，山西偏關人，博士，講師，研究方向：算子代數與算子理論量子信息理論。