具強(qiáng)阻尼項(xiàng)波動(dòng)方程的整體解的漸近性

陳金梅，王祥，趙嬛嬛，劉有軍

（1.忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州 034000；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

具強(qiáng)阻尼項(xiàng)波動(dòng)方程的整體解的漸近性

陳金梅1，王祥1，趙嬛嬛2，劉有軍2

（1.忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州 034000；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

在考慮強(qiáng)阻尼效應(yīng)的情形下，研究了一類軸向載荷作用下的彈性波動(dòng)方程的擾動(dòng)問題的整體解的性態(tài)。以Sobolev空間的性質(zhì)為工具，利用Gronwall不等式及數(shù)學(xué)歸納法，證明了該擾動(dòng)問題在線性邊界條件下弱解的存在唯一性。

非線性；梁方程；擾動(dòng)問題；整體解

非線性發(fā)展方程是許多非線性問題在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)。自80年代初開始，對(duì)非線性發(fā)展方程的經(jīng)典解的整體存在性的研究提出了一套新的處理方法，就是對(duì)解的能量估計(jì)的基礎(chǔ)上，再利用相應(yīng)的線性齊次方程的解在t→+∞時(shí)的衰減性質(zhì)，并將兩者有機(jī)地結(jié)合起來，就可以在一定條件下對(duì)小初值的情形得到經(jīng)典解的整體存在性。

我們考慮以下的擾動(dòng)問題（Pε），其中ε是一個(gè)小參數(shù)，并且|ε|≤1：

其中B，B1，f，f1是給定的函數(shù)，B（t，|u（1）|2）是軸向載荷作用，f（x，t，u，u（1），）為強(qiáng)阻尼效應(yīng)。

B（t，|u（1）|2）與f（x，t，u，u（1），）依賴于積分：

1 預(yù)備知識(shí)

記Ω＝（0，1），Q＝Ω×（0，T）

Lp＝Lp（0，1），Hm＝Hm（0，1），（0，1）。L2中的范數(shù)用|.|表示，L2中的內(nèi)積用＜·，·＞表示。

此外，定義：

2 主要結(jié)果及其證明

（H3）：f，f1∈C1（Ω×［0，∞）×R3）；

給定M＞0，T＞0，我們令：

K0＝K0（M，T，f）＝

sup｛|f（x，t，u，v，w）|：（x，t，u，v，w）∈A*（M，T）｝；

K1＝K1（M，T，f）＝

sup｛|fx|+|ft|+|fu|+|fv|+|fw|）

（x，t，u，v，w）：（x，t，u，v，w）∈A*（M，T）｝；

其中：

對(duì)每個(gè)M＞0，T＞0，我們有：

下面我們考察擾動(dòng)問題（Pε）的弱解的存在唯一性。

定理假設(shè)（H1）～（H3）成立，則存在常數(shù)M＞0，和T＞0，使得對(duì)任意|ε|≤1，問題（Pε）有唯一弱解uε滿足uε∈W（M，T）以及估計(jì)：其中C是依賴于M，T，0（M，B1），K0（M，T，f1），1（M，B），和K1（M，T，f）的常數(shù)。

證明 令ν＝uε-u0，則v滿足以下變形問題：

其中：

而

則

由（2）式及Gronwall′s引理，我們有：

所以：

其中：

定理證畢。

［1］Long N T.On the nonlinear wave equation utt-B（t，|ux|2）uxx＝f（x，t，u，ux，ut）associated with the mixed homogeneous conditions［J］.J.Math Anal Appl.2002，274：102-123.

［2］Long N T，Dung B T.On the nonlinear wave equation utt-B（t，|ux|2）uxx＝f（x，t，u，ux，ut，|ux|2）associated with the mixed homogeneous conditions［J］.J Math Anal Appl，2004，292：433-458.

［3］Dickey R W.Free vibrations and dynamic buckling of the extensible beam［J］.J Math Anal Appl，1970，29：443-454.

［4］Pereira D C.Existence.uniqueness and asymptotic behavior for solutions of the nonlinear beam equation［J］.Nonlinear Analysis，TMA，1990，14（8）：613-623.

［5］陳金梅，王祥.一類非線性波動(dòng)方程弱解的存在唯一性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，31（8）：1-7.

〔責(zé)任編輯 高海〕

The Asymptotic Behavior of the Solution of the Wave Equation with Strong Damping

CHEN Jin-mei1，WANG Xiang1，ZHAO Huan-huan2，LIU You-jun2
（1.Department of Mathematics，Xinzhou Teachers University，Xinzhou Shanxi，034000；2.School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，We considered the case of strong damping effect，established a class of the beam equation with axial loading.We studied the global solution of the perturbed problem of the nonlinear beam equation with strong damping.Sobolev space properties as a tool，We proved the existence of weak solutions of the perturbed problem.

nonlinear；the beam equation；the perturbed problem；the global solution

O175.27

A

1674-0874（2012）05-0019-02

2012-05-25

忻州師范學(xué)院自然科學(xué)基金［201124］

陳金梅（1979-），女，山西呂梁人，碩士，講師，研究方向：偏微分方程。