二次曲面方程的化簡

張海濤

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

二次曲面方程的化簡

張海濤

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

二次曲面的化簡是解析幾何中的重點內容，介紹了幾種化簡二次曲面方程的方法，并通過具體實例作出說明，最后比較各種方法的優缺點。

二次曲面；化簡；標準

在解析幾何中，二次曲面方程的形式比較復雜，這給我們解決問題帶來了很大的不便，這時候就需要將方程先進行化簡。許多學者對此進行了研究［1-7］。在文獻［3］中，利用矩陣運算，結合向量的數量積和外積對二次曲面進行化簡；在文獻［5］中，利用主徑面建立新的坐標平面進行化簡。根據不同的條件給出了4種二次曲面方程化簡的方法：配方法、坐標軸旋轉變換、主徑面、不變量，并總結了各種方法的優缺點。

定理1 適當選取坐標系，二次曲面方程總可化為下列五個簡化方程中的一個：

（I）a11x2＋a22y2＋a33z2＋a0＝0，a11a22a33≠0；

（II）a11x2＋a22y2＋a3z＝0，a11a22a33≠0；

（III）a11x2＋a22y2＋a0＝0，a11a22≠0；

（IV）a11x2＋a2y＝0，a11a22≠0；

（V）a11x2＋a0＝0，a11≠0。

1 利用配方法化簡

如果方程中含有x（y，z）的平方項，則先把含有x（y，z）的各項集中，按x（y，z）配成完全平方，然后按照此法對其它變量配方，直至都配成平方項。

例1 化簡方程：4xy-2zx-2yz＋3z2＝0。

解 4xy-2zx-2yz＋3z2＝

相應的線性變換由

求得

優點：該方法簡單易懂，易掌握，計算量小；

缺點：簡化出的標準形不唯一。

2 利用坐標軸旋轉變換化簡

定理2 任意二次曲面方程至多經過三次平面上的坐標軸旋轉變換和一次空間坐標軸平移變換總能化為二次曲面的標準方程。

例2 化簡方程

解 因為a12≠0，則根據

則上式化為：

y′2＋2x′z′-9＝0，

作變換

則方程化簡為：

x″2＋y″2-z″2-9＝0。

優點：方法簡單易懂；

缺點：計算過程復雜，化出的標準形不唯一。

3 利用主徑面化簡

利用主徑面將一個二次曲面化為標準形，首先根據二次曲面的主徑面得出二次曲面的特征根，再根據特征根求出其主方向，進而得出它的共軛主徑面，取主徑面為新坐標作坐標變換，代入原方程得出二次曲面的標準形式。

例3 化簡方程

x2＋y2＋5z2-6xy＋2yz-2xz-6x＋6y-6z＋10＝0。

解 因為I1＝7，I2＝0，I3＝-36，

所以曲面的特征方程為-λ3＋7λ2-36＝0，

即（λ-6）（λ-3）（λ+2）＝0，

所以二次曲面的特征根有三個λ＝6，3，-2。

特征根λ＝6的主方向由方程組

所以λ＝6的主方向為

則與它共軛的主徑面為

-x＋y＋2z＝0。

同理，求得另外的主徑面為：

x-y＋z＝0和x＋y＝0，

則其變換公式是：

解得

解得二次曲面的方程為

優點：該方法劃出的標準形是唯一的，且計算過程中方程的特征根，主徑面，及主方向的性質都容易求得；

缺點：計算量大，過程復雜，不容易掌握。

4 利用不變量化簡

利用不變量化簡二次曲面方程，即應用二次曲面（1）的四個不變量I1，I2，I3，I4與半不變量K1，K1來化簡二次曲面（1）的方程，其方法與平面上的二次曲線的方程化簡相似。

定理3 二次曲面（1）當且僅當

1°I3≠0，表示第I類曲面，簡化方程為

2°I3＝0，I4≠0，表示第II類曲面，簡化方程為

3°I3＝I4＝0，I2≠0，表示第III類曲面，簡化方程為

4°I3＝I4＝I2＝0，K2≠0，表示第IV類曲面，簡化方程為

5°I3＝I4＝I2＝K2＝0，表示第V類曲面，簡化方程為

這里的λ1，λ2，λ3分別為二次曲面（1）的非零特征根。

例4 化簡方程

x2＋y2＋z2-6x＋8y＋10z＋1＝0。

解 因為二次曲面

I1＝3，I2＝3，I3＝1，I4＝-49，I1I3＝3，

所以二次曲面為橢球面曲面的特征方程為

-λ3＋3λ2-3λ＋1＝0，

即（λ-1）3＝0，特征根為λ＝1，1，1，

所以橢球面的簡化方程為

x2＋y2＋z2-49＝0。

優點：該方法簡單易懂，計算容易，化簡出的標準形唯一；

缺點：易混淆，用的時候必須熟記公式。

所介紹的二次曲面方程的化簡方法各有條件、各具特色，因此各種類型所采用的技巧方法都不盡相同，我們必須根據其條件來判斷方程化簡所用的方法，進而找到解決問題的方法。當然，有些題目可以用多種方法來解決，此時，我們不可以死搬硬套，要從復雜中找簡單，想要做到這一點，就必須在做題中不斷總結、摸索、領悟各種方法的精髓，這樣才能熟練而又靈活的掌握與運用各種化簡二次曲面的方法。

［1］黃梅英.二次曲面的等差數列性質［J］.龍巖學院學報，2006，24（3）：105-106.

［2］李永利，桑改連.二次曲面與等差數列的一個性質［J］.數學通訊，2005，13：17-18.

［3］劉軾波.化簡二次曲面方程的矩正陣方法［J］.高等數學研究，2012，15（2）：22-24.

［4］席高文.二次曲面方程分類與化簡［J］.大學數學報，2005，21（5）：133-134.

［5］鄭文晶.二次曲面的化簡［J］.呼倫貝爾學院學報，2009，17（21）：156-160.

［6］王理凡.化簡二次曲面方程的探究［J］.和田師范學報，2009，28（4）：201-202.

［7］宋述立.化二次曲面的標準方程［J］.棗莊師專學報，2000，17（2）：15-16.

Key uords：quadric surface；reduction；standard

〔責任編輯 高海〕

On Quadric Surface Equation of Reduction

ZHANG Hai-tao
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong university，Datong Shanxi，037009）

Quadric surface is important in analytic geometry.In this paper，the reduction method is given.The example explains the advantages and disadvantages of various methods.

O182.2

A

1674-0874（2012）05-0012-03

2012-03-15

張海濤（1974-），女，山西陽高人，碩士，副教授，研究方向：常微分方程。