含參量x的無界反常積分

李志廣

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

含參量x的無界反常積分

李志廣

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

現行教材中對于含參量x的無界反常積分，僅僅給出了定義，對此進一步探究，給出了其一致收斂的判別法。

無界；反常積分；一致收斂

1 預備知識

定義1設f（x，y）在區域R＝［a，b］×［c，d）上有定義，若對x的某些值，y=d為函數f（x，y）的瑕點，則稱

為含參量x的無界函數反常積分，或簡稱為含參量反常積分。若對每一個x∈［a，b］積分（1）都收斂，則其積分值是x在［a，b］上取值的函數。

定義2 對任給正數ε＞0某正數δ＜d-c，使得當0＜η＜δ時，對一切x∈［a，b］，都有

則稱含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂。

2 一致收斂的判定定理

定理1 含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂的充分必要條件是：對任給正數ε，總存在某正數0＜δ＜d-c，當0＜η1＜δ，0＜η2＜δ時，對于?x∈［a，b］有，

（充分性）對任給正數ε＞0，存在正數δ＜d-c，當0＜η1＜δ，0＜η2＜δ時，對?x∈［a，b］有：

當η2→0時，有：

定理2 含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂的充要條件是：對任一趨于d的遞增數列｛An｝（其中A1＝c），函數項級數

在［a，b］上一致收斂。

證明（必要性）由（1）在［a，b］上一致收斂，故對任給ε＞0，必存在δ∈（0，d-c），對于0＜η＜δ，使得當A″＞A′，且A″，A′∈（d-η，d）時，對一切x∈［a，b］，總有

又由An→d（n→∞），所以對正數δ，存在正整數Ν，只需m＞n＞N時，就有Am＞An＞d-η，由（3）知，對一切x∈［a，b］，就有

這就證明了級數（2）在［a，b］上一致收斂。

（充分性）用反證法。假設（1）在［a，b］上不一致收斂，則存在某個正數ε0，使得對于任何實數0＜δ＜d-c，存在相應的d-δ＜A′＜A″＜d和x′∈［a，b］，使得

現在取δ＝min｛1，d-c｝，則存在d-δ＜A1＜A2＜d，以及x1∈［a，b］，使得

這與級數（2）在［a，b］上一致收斂的假設矛盾，故含參量反常積分（1）在［a，b］上一致收斂。

3 一致收斂的判別法

判別法2 設

（1）對一切實數c＜N＜d，含參量正常積分

對參量x在［a，b］上一致有界，即存在正數M，對一切c＜N＜d，以及一切x∈［a，b］，都有

又因為對每一個x∈［a，b］，函數g（x，y）關于y是單調遞減且y→d時，對參數x，g（x，y）一致地收斂于0，故存在某一正數0＜δ＜d-c，使得對于一切d-δ＜u1＜u2＜d，都有，

由上述可知，取M＝max｛N，d-c｝，對于一切M＜u1＜u2＜d，都有，

判別法3 設

［1］張振祺.含參量反常積分局部一致收斂的判別法［J］.榆林學院學報，2010，12（6）：13-18.

［2］王建英.含參量非正常積分的局部一致收斂［J］.集寧師專學報，2008，22（4）：45-47.

［3］黃慧，陳輝.含參量無窮限反常積分的一致收斂性［J］.高等數學研究，2011，2（1）：7-10.

［4］裴禮文.數學分析中的典型問題與方法［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［5］陳紀修.數學分析［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［6］高建平，劉聲，張蕊.反常積分收斂判別法［J］.數學學習與研究，2010，19（9）：23-31.

〔責任編輯 高海〕

Unbounded Improper Integral with Parameter

LI Zhi-guang
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

In current textbooks for unbounded improper integral with parameter，only definitions are given，in this article，on further inquiry，its uniform convergence criterion is given.

unbounded；improper integral；uniform convergence

O172.2

A

1674-0874（2012）05-0010-02

2012-03-15

李志廣（1979-），男，河北陽原人，碩士，講師，研究方向：分布參數系統。