基于總體最小二乘的核四極矩共振參數估計

朱凱然 何學輝 鄭小保 蘇 濤

（1.西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071；2.中國電波傳播研究所，山東 青島 266107）

引 言

進入21世紀后，反恐安全檢測技術已成為人們的熱點話題，同時也成為國防安全中重要的一部分，其目的是要把恐怖活動遏制在未遂狀態。縱觀這些恐怖活動，爆炸仍舊是恐怖分子使用的最主要方式，對爆炸物的及時有效探測是反恐活動的重要環節。

核四極矩共振 （NQR）是一種固態射頻技術［1-9，11-16］，它可以用于檢測四極矩原子核的存在性，例如普遍存在于爆炸物中的氮14原子核，它可作為一種判決依據對爆炸物進行探測。通過檢測氮14原子核的NQR信號，不但可以判定爆炸物的存在性，而且還可以根據NQR譜線特征確定是何種爆炸物，可以說NQR信號是爆炸物的“指紋”。

NQR信號通常分為兩種類型。一種稱為自由感應衰減（FID）信號［12］，它是由單脈沖激勵得到的信號；另一種稱為自旋回波串信號［6］，它是由激勵脈沖串激勵得到的信號，可以在短時間內使NQR信號獲得更高的信噪比。然而，NQR信號本身非常弱，并且易受線圈內熱噪聲和外部射頻干擾（RFI）的影響，故此NQR信號極低信噪比制約了NQR技術在爆炸物探測方面的應用。文獻［1］應用非線性最小二乘法提高信噪比，該方法在已知信源個數的前提下，建立NQR信號模型，在頻率維和衰減系數維進行窮舉搜索，計算量大，且需要先驗信息。文獻［9］運用基于最小二乘法的線性預測方程估計NQR信號的參數。本文采用基于總體最小二乘法［10］的線性預測方程對NQR信號的參數進行估計，該方法大大降低了計算量，且無需先驗信息；在計算線性預測系數時，它克服了普通最小二乘法未考慮擾動對數據矩陣的影響，獲得了更好的估計性能。

1.信號模型

窄帶接收機接收到的FID信號可以表示成一個指數衰減的正弦信號［1］，表達式為

式中:A、β、ω和θ分別為FID信號的幅度、衰減系數、頻率以及初相；ω通常是環境參數的函數，如溫度。假設

式中:f，fs分別表示FID信號頻率和采樣率。式（1）變為

實際觀測數據可以表示為

式中:IN，wN分別表示干擾信號和噪聲信號，均為N×1的向量；（·）T表示轉置。式（4）可以看作在色噪聲背景下，FID信號參數估計問題。

2.基于總體最小二乘的參數估計

在求解矩陣方程Ax=b的時候，普通最小二乘是用一個范數平方為最小的擾動向量e去干擾數據向量b，以校正b中存在的噪聲，當A和b二者均存在干擾時，求解矩陣方程Ax=b的最小二乘方法將會導致大的方差，此時，需要同時考慮矩陣A和向量b中的擾動，即求解矩陣方程（A+E）x=b+e，這就是總體最小二乘方法的基本思想。由式（4）構造線性預測方程為

A為（N-L）×L 的 Hankel矩陣；x=（x1，x2，…，xL）T為線性預測向量；b=（y0，y1，…，yN-L-1）T.構造增廣矩陣B=［b，A］，對矩陣B進行奇異值分解（SVD）

式中:U=［u1，u2，…，uN-L］∈C（N-L）×（N-L）；均為正交矩陣；奇異值矩陣

其奇異值按照降序排列，即σ1≥σ2≥…≥σq＞σq+1≈…≈σL+1，且q≤min（N-L，L+1）是增廣矩陣B的有效秩；（·）H為共軛轉置。那么，式（5）的總體最小二乘解為

式中:S-（q）是矩陣的S（q）逆矩陣，且

式中:S（q）為（L+1）×（L+1）維矩陣；νi是酉矩陣V的第i列。

得到xTLS后，由式（5）中任意一個差分方程可得特征多項式

解得式（11）的根zi，i=1，…，L，由FID信號的衰減特性知，尋找 Re（ln（zi））＜0，i=1，…，L 的根zi，i=1，…，p，那么，式（3）可簡化為幅度參數a的線性方程，用矩陣形式表示為

式中，Z是N×p維Vandermonde矩陣。由于zi各不相同，那么Vandermonde矩陣Z的各列線性獨立，可得式（12）的最小二乘解為

式中:Z?=（ZHZ）-1ZH是Z的偽逆矩陣。依據

可求得幅值、相位、衰減因子和頻率。

得到p組信號分量估計參數后，依據最大似然估計準則

式中:Zi是Z的第i列；‖·‖2為2-范數。對應于J最小的那組參數，便是所求參數。式（17）的最小值可以轉化為求式（18）的最大值，即

式中:Πz=Z（ZHZ）-1ZH.

此時，可以獲得未知噪聲模型下的信噪比估計為

SNR′或稱之為檢測增益，它表征了NQR信號能量與背景噪聲能量之比。

值得注意的是，式（5）的最佳線性預測器的參數等效于自回歸（AR）模型的參數，最小預測誤差功率也就等于激勵的白噪聲功率，此時的線性預測器也有白化濾波的作用。式（9）中減掉Δσ項，也具有消除噪聲的作用。本文方法的步驟可歸納如下:

步驟1 根據式（5）與式（6）構造線性預測方程，線性預測器階數通常取L≈N／3.

步驟2 計算增廣矩陣B的SVD，并存儲右奇異矩陣V；確定B的有效秩q；利用式（10）和式（9）計算矩陣S（q）；求S（q）的逆矩陣S-（q）；由式（8）得到線性預測器的系數xTLS.

步驟3 由式（11）解得特征多項式的根，zi，i=1，…，L，依據 Re（ln（zi））＜0，i=1，…，L 可以得到根zi，i=1，…，p，構造N×p維Vandermonde矩陣Z.

步驟4 由式（15）得到幅度信息的最小二乘解。

步驟5 由式（16）可以得到幅值、相位、衰減因子以及頻率信息，依據式（18）、式（19）分別可以確定FID信號的參數和檢測增益。

3.計算機仿真結果

應用基于總體最小二乘法的線性預測方法估計得到的NQR參數結果與文獻［9］的方法進行比較。從仿真數據和實測數據兩方面進行仿真，并比較上述兩種方法的參數估計性能。

3.1 仿真數據

在室溫下，采集背景噪聲數據，然后加入相對于背景噪聲不同信噪比（SNR）下的NQR模擬信號，生成仿真數據。根據黑索金（RDX）實測數據給出NQR模擬信號的參數:頻率為2.3kHz，衰減常數為0.0064，初相位為30°，采樣率為156.25kHz，信噪比從-5dB變化到20dB，步長為0.5dB.每個信噪比對背景噪聲樣本（22000個脈沖）進行100次隨機不重復抽取（2000個脈沖）累加實驗。

隨著信噪比的變化，參數估計值如圖1所示。其中，圖1（a）為幅度信息估計，在高信噪比下，兩者估計值均接近于理論值；圖1（b）為衰減系數估計，隨著信噪比的增加，估計值趨于真實值，若以衰減系數為檢測變量，那么在較低信噪比下，本文方法優于文獻［9］的方法；圖1（c）為頻率估計值，隨著信噪比的增加，估計值也趨于真實值，本文方法優于文獻［9］的方法；圖1（d）為初始相位估計值，隨著信噪比的增加，估計值也趨于真實值；文獻［9］方法估計值更接近于真實值。圖1（e）為檢測增益，本文方法得到的檢測增益優于文獻［9］方法約0.8dB.

3.2 實測數據

實測數據源于研究RDX的FID信號特性實驗［13-16］。探測RDX譜線頻率為3.411MHz，在該共振頻率下，其自旋-晶格弛豫時間在環境溫度為283～295K 條件下大約為12ms［6，8］，自旋-自旋弛豫時間約為8ms.室溫下，將300g RDX置于封閉的感應線圈內，用激勵脈沖寬度為130μs，脈沖間隔為64.1ms（約大于5倍自旋-晶格時間）的單脈沖序列激勵RDX.中心頻率為100kHz，采樣率為1.25 MHz.

處理中，選取第一個數據文件內第一個脈沖為起始脈沖，以步長為62個脈沖順序增加脈沖數，進行脈沖相干積累。理論上，N個等幅相干信號進行相干積累，可以使輸出信噪比改善N倍。但實際上，由于相鄰回波信號的相位相干性難以保證，因此信噪比改善一般達不到N倍［1，11-12］。不同積累脈沖數下，兩種方法的FID信號參數估計性能比較如圖2所示。圖2（a）和圖2（d）說明了脈沖相干積累的可能性，因為隨著脈沖數的增加，幅度信息也隨之線性增加，初始相位趨于穩定，初始相位的平均值為35.82°.圖2（b）為FID信號的衰減系數估計，趨于0.007，而文獻［9］方法表現出較大的波動。圖2（c）為FID信號的頻率估計，趨于2.35kHz.圖2（e）為信噪比估計值，當積累脈沖數小于2500個時，對應的信噪比估計值小于10dB，文獻［9］方法低于本文方法，大于2500個時，兩種方法的性能一致，且趨于線性增加。綜上，在較低信噪比下，與基于普通最小二乘法的文獻［9］方法相比，本文方法呈現出較好的參數估計性能，同時也驗證了FID信號模型的正確性。

4.結 論

在研究RDX的FID信號特性的基礎上，針對NQR信號參數的估計問題，應用基于總體最小二乘法的線性預測方法，并考慮了線性預測方程左右擾動矩陣的影響，獲得了較好的參數估計性能。但該類線性預測方法也有不足之處，當數據長度較大時，數據矩陣的行數太大，且為了得到好的預測系數，通常需要很大的線性預測階數。NQR技術是一種有效的檢測爆炸物技術，具有良好的發展前景，NQR信號極低信噪比一直是制約該技術在爆炸物探測方面應用的瓶頸，研究低信噪比下爆炸物檢測算法成為亟待解決的問題。下一步的工作，將進一步研究FID信號特性，穩態自由振蕩脈沖序列（SSFP）回波信號特性，自旋鎖定脈沖序列（SLMP）回波信號特性以及低信噪比下爆炸物檢測算法。

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